Сопряжённый линейный оператор: различия между версиями
Konst25 (обсуждение | вклад) |
Konst25 (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | == Пространство линейных операторов и норма | + | == Пространство линейных операторов и норма |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
\begin{abstract} | \begin{abstract} | ||
| − | В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов. | + | \textbf{Курсивное описание:} В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов. |
\end{abstract} | \end{abstract} | ||
| − | + | === Пространство линейных операторов | |
Пусть $\LL(X, Y)$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$. Введём в $\LL(X, Y)$ операции сложения и умножения на скаляр: | Пусть $\LL(X, Y)$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$. Введём в $\LL(X, Y)$ операции сложения и умножения на скаляр: | ||
| Строка 18: | Строка 12: | ||
\] | \] | ||
Множество $\LL(X, Y)$ с такими операциями образует линейное пространство. | Множество $\LL(X, Y)$ с такими операциями образует линейное пространство. | ||
| + | |||
| + | ==== Определение нормы | ||
'''Определение 1.''' Пусть $X$ — линейное пространство. Функция $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, определённая на $X$, является нормой, если выполнены аксиомы: | '''Определение 1.''' Пусть $X$ — линейное пространство. Функция $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, определённая на $X$, является нормой, если выполнены аксиомы: | ||
| Строка 28: | Строка 24: | ||
Любая норма порождает метрику над $X$: $\rho(x,y) = \|x - y\|$. | Любая норма порождает метрику над $X$: $\rho(x,y) = \|x - y\|$. | ||
| + | |||
| + | ===== Норма линейного оператора | ||
'''Определение 2.''' '''Нормой линейного оператора''' $A \in \LL(X, Y)$ называется число | '''Определение 2.''' '''Нормой линейного оператора''' $A \in \LL(X, Y)$ называется число | ||
| Строка 34: | Строка 32: | ||
\] | \] | ||
| − | + | === Свойства нормы оператора | |
'''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам: | '''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам: | ||
| Строка 56: | Строка 54: | ||
Переходя к супремуму, получаем $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$. $\square$ | Переходя к супремуму, получаем $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$. $\square$ | ||
| − | + | === Основная оценка для ограниченных операторов | |
| − | |||
| − | |||
'''Теорема 2.''' Если $A$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка | '''Теорема 2.''' Если $A$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка | ||
Версия 04:32, 13 октября 2025
== Пространство линейных операторов и норма
\begin{abstract} \textbf{Курсивное описание:} В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов. \end{abstract}
=== Пространство линейных операторов
Пусть $\LL(X, Y)$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $X$ в $Y$. Введём в $\LL(X, Y)$ операции сложения и умножения на скаляр: \[ (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax. \] Множество $\LL(X, Y)$ с такими операциями образует линейное пространство.
==== Определение нормы
Определение 1. Пусть $X$ — линейное пространство. Функция $\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$, определённая на $X$, является нормой, если выполнены аксиомы:
1. $\forall x \in X \|x\| \geq 0$; $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$,
2. $\forall x \in X$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$,
3. $\forall x, y \in X$; $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$.
Любая норма порождает метрику над $X$: $\rho(x,y) = \|x - y\|$.
===== Норма линейного оператора
Определение 2. Нормой линейного оператора $A \in \LL(X, Y)$ называется число \[ \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|. \]
=== Свойства нормы оператора
Теорема 1. Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:
1. $\forall A \in \LL(X, Y)$; $\|A\| \geq 0$; $\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$,
2. $\forall A \in \LL(X, Y)$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$; $\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$,
3. $\forall A, B \in \LL(X, Y)$; $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$.
Доказательство.
1) Очевидно, $\|A\| \geq 0$. Если $\|A\| = 0$, то $\|Ax\| = 0$ для всех $x$ с $\|x\| \leq 1$, откуда $A = 0$.
2) $\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$.
3) Для любого $x$ с $\|x\| \leq 1$ имеем: \[ \|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|. \] Переходя к супремуму, получаем $\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$. $\square$
=== Основная оценка для ограниченных операторов
Теорема 2. Если $A$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка \[ \|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\| \] для всех $x \in X$, где $\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$.
Доказательство.
При $x = 0$ неравенство очевидно. Пусть $x \neq 0$, рассмотрим $x' = \frac{x}{\|x\|}$. Поскольку $\|x'\| = 1$, то по определению нормы $\|Ax'\| \leq \|A\|$. Подставляя $x'$, получим $\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$, т.е. $\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$, что и требовалось доказать. $\square$
