Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе

Обратный и непрерывно обратимый оператор

Определение 1. $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=оператор}{\text{Оператор}}$$ $$A$$ называется обратимым, если для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ уравнение $$Ax = y$$ имеет единственное решение.

Если $$A$$ обратим, то каждому $$y \in \operatorname{Im} A$$ можно поставить в соответствие единственный элемент $$x \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=множеством%20определения}{D(A)},$$ являющийся решением уравнения $$Ax = y.$$ Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к $$A$$ и обозначается $$A^{-1}.$$

Теорема 1. Оператор $$ A^{-1} $$ существует и ограничен на $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=областью%20значений}{\text{области значений}}$$ тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной $$ m > 0 $$ и любого $$ x \in D(A) $$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Необходимость

Докажем, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ верно $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Из ограниченности $$A^{-1}$$ следует: существует $$c > 0$$ такое, что для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ выполняется $$\|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\|.$$

Возьмём произвольный $$x \in D(A)$$ и положим $$y = Ax$$, тогда $$y \in \operatorname{Im} A.$$ Так как $$A^{-1}$$ существует, имеем $$A^{-1}y = x.$$

Подставляем $$y = Ax$$ в неравенство ограниченности:

$$\|x\| = \|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\| = c \|Ax\| \Longleftrightarrow \|Ax\| \geqslant \dfrac{1}{c} \|x\|.$$

Обозначая $$m = \dfrac{1}{c} > 0$$, получаем искомое неравенство.

Достаточность

Теперь известно, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ выполнено неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Докажем существование $$A^{-1}$$. Из неравенства следует, что

$$Ax = 0 ⇒ 0 = \|Ax\| \geqslant m \|x\| \geqslant 0,$$

откуда $$\|x\| = 0$$, то есть $$x = 0$$.

Это означает, что ядро оператора $$A$$ тривиально:

$$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in D(A) : Ax = 0 \} = \{0\}.$$

Для линейного оператора инъективность ($$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$) эквивалентна существованию обратного оператора $$A^{-1}$$, определённого на $$ \operatorname{Im} A$$. Таким образом, $$A^{-1}$$ существует.

Докажем ограниченность $$A^{-1}$$. Возьмём произвольный $$y \in \operatorname{Im} A.$$ Так как $$A^{-1}$$ существует, найдётся единственный $$x \in D(A)$$ такой, что $$Ax = y$$ и $$x = A^{-1}y.$$

Подставим $$x = A^{-1}y$$ в исходное неравенство:

$$\|A(A^{-1}y)\| \geqslant m \|A^{-1}y\|.$$

Но $$A(A^{-1}y) = y$$, поэтому: $$\|y\| \geqslant m \|A^{-1}y\| \Longleftrightarrow \|A^{-1}y\| \leqslant \dfrac{1}{m} \|y\|.$$

Это и означает ограниченность оператора $$A^{-1}$$ на $$\operatorname{Im} A$$ с константой $$c = \dfrac{1}{m}. ■$$

Определение 2. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется непрерывно обратимым, если оператор $$A$$ обратим и обратный оператор имеет конечную норму $$||A^{-1}||<\infty.$$

Теорема 2. Пусть $$X, Y —$$ нормированные пространства. Оператор $$A: X \to Y$$ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда $$\operatorname{Im} A = Y$$ и для некоторой постоянной $$m > 0$$ и для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема 3. Пусть $$X, Y —$$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=банаховым%20пространством}{\text{банаховы пространства}}$$, оператор $$A: X \to Y —$$ линейный $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=ограниченным}{\text{ограниченный }}$$и обратимый. Тогда $$A$$ непрерывно обратим.

Левый и правый обратные операторы

Определение 3. Пусть $$A \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=линейным%2C%20если}{\mathcal{L}(X, Y).}$$ Оператор $$A_r^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть правым обратным для $$A$$, если $$AA_r^{-1} = I_Y.$$

Определение 4. Пусть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$. Оператор $$A_l^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть левым обратным к $$A$$, если $$A_l^{-1}A = I_X.$$

Замечание. Таким образом, оператор называется обратным, если $$AA_r^{-1} = A_l^{-1}A = AA^{-1} = A^{-1}A = I_Y = I_X.$$

Условия существования обратного оператора

$$\forall y\in Y \quad \exists A^{-1} \Longleftrightarrow $$ уравнение $$Ax=y$$ имеет единственное решение $$\forall y\in Y$$ $$\Longleftrightarrow \operatorname{ker}A = \{0\}$$ и $$\operatorname{Im}A = Y.$$

Замечание. Наличие только нуля у ядра является необходимым условием существования левого обратного оператора; совпадение образа оператора со всем пространством — необходимым условием существования правого обратного оператора.

Докажем эти необходимые условия$$:$$

1) если $$\exists$$ $$A_r^{-1}$$, то $$\operatorname{Im}(A) = Y;$$

2) если $$\exists$$ $$A_l^{-1}$$, то $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}.$$

1). По условию $$\exists A_r^{-1} : Y \to X$$ — правый обратный к $$A$$, то есть $$A \big( A_r^{-1} y \big) = y \quad \forall y \in Y.$$

Зафиксируем произвольный $$y \in Y$$. Из равенства $$A(A_r^{-1} y) = y$$ следует, что элемент $$x = A_r^{-1} y \in X$$ таков, что $$A x = y.$$

Значит, для каждого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$, а именно $$x = A_r^{-1} y$$, для которого $$A x = y.$$

Поэтому $$y \in \operatorname{Im}(A)$$ для любого $$y \in Y$$. Отсюда $$Y \subset \operatorname{Im}(A).$$

По определению $$\operatorname{Im}(A) \subset Y$$, следовательно, $$\operatorname{Im}(A) = Y.$$

Замечание. Условие существования правого обратного $$A_r^{-1}$$ гарантирует, что оператор $$A$$ действует сюръективно на $$Y$$ и таким образом является условием существования решения $$Ax = y$$ для любого $$y \in Y.$$

2). Возьмём любой элемент $$x \in \operatorname{ker}(A)$$. Тогда $$Ax = 0,$$ так как по определению ядра $$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in X : Ax = 0 \}.$$

Применим к обеим частям левый обратный оператор $$A_l^{-1}$$ : $$A_l^{-1}(Ax) = A_l^{-1}(0).$$

Упростим полученное выражение:

Левая часть : $$A_l^{-1}(Ax) = (A_l^{-1}A)x = I_X \cdot x = x$$

Правая часть : $$A_l^{-1}(0) = 0$$, так как любой линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой.

Следовательно, $$x = 0.$$

Таким образом, единственный элемент в ядре $$\operatorname{ker}(A)$$ — это нулевой вектор.

Замечание. Из тривиальности ядра следует единственность решения. Предположим, что уравнение $$Ax = y$$ имеет два различных решения $$x_1$$ и $$x_2$$, уравнения которых будут выглядеть так $$: Ax_1 = y, Ax_2 = y.$$ Вычтем одно равенство из другого$$: Ax_1 - Ax_2 = y - y = 0.$$ Из линейности оператора следует, что $$A (x_1 - x_2) = 0.$$ Это означает, что разность $$x_1 - x_2$$ принадлежит ядру оператора. Но мы доказали, что $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$, следовательно, $$x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2.$$

Теорема 4. Если для оператора $$A \in \mathcal{L}(X,Y)$$ существуют одновременно правый обратный $$A_r^{-1}$$ и левый обратный $$A_l^{-1}$$, то существует оператор $$A^{-1}$$, обратный к $$A$$, и $$A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Воспользуемся тождественными оператороми $$A A_r^{-1}$$ и $$A_l^{-1} A$$ в $$Y$$ и $$X$$ соответственно и свойством ассоциативности умножения:

$$A_l^{-1} = A_l^{-1} (A A_r^{-1}) = (A_l^{-1} A) A_r^{-1} = I_X \cdot A_r^{-1} = A_r^{-1}.$$

Отсюда следует, что оператор $$A$$ обратим, причём $$ A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Оператор $$A$$ сюръективен в силу существования решения для любого $$y$$, что гарантируется правым обратным оператором, и инъективен в силу единственности решения, что гарантируется левым обратным оператором.

Таким образом, $$A$$ является биекцией между пространствами $$X$$ и $$Y$$, и обратный оператор существует как левый и правый одновременно. $$■$$

Примеры

Пример обратного оператора

Рассмотрим в пространстве непрерывных функций $$C[0,1]$$ интегральное уравнение вида:

$$(Ax)(t) \equiv x(t) - \int_{0}^{1} t s \, x(s) \, ds = y(t),$$

где $$y(t) \in C[0,1]$$ задана, $$x(t)$$ — искомая функция.

Заметим, что интеграл $$\int_{0}^{1} s x(s) \, ds$$ представляет собой постоянное число, не зависящее от $$t$$. Обозначим:

$$c = \int_{0}^{1} s x(s) \, ds.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$$x(t) - t \cdot c = y(t),$$

откуда $$x(t) = y(t) + t \cdot c.$$

Подставим выражение для $$x(t)$$ в определение $$c:$$

$$c = \int_{0}^{1} s \left( y(s) + s c \right) ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + c \int_{0}^{1} s^{2} \, ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + \dfrac{c}{3}.$$

Решаем относительно $$c$$$$:$$

$$c - \dfrac{c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

$$\dfrac{2c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

$$c = \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds.$$

Итого, находим:

$$x(t) = y(t) + t \cdot \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из полученной формулы следует, что решение существует и единственно для любой $$y \in C[0,1]$$, и оператор $$A^{-1}$$ задаётся явно:

$$(A^{-1}y)(t) = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из $$A(A^{-1}y) = y$$ следует, что оператор $$A^{-1}$$ действительно является обратным для любой функции $$y$$ и оператор $$A$$ непрерывно обратим в пространстве $$C[0,1].$$

Пример оператора, не являющегося обратным

Рассмотрим оператор $$A$$, действующий из пространства непрерывно дифференцируемых функций $$C^1[0,1]$$ в пространство непрерывных функций $$C[0,1],$$ который имеет вид $$(Ax)(t) = x'(t).$$

Докажем существование правого оператора. Имеем:

$$Ax = y; \quad x'(t)=y;$$

$$x = A_r^{-1} y.$$

Рассмотрим $$x(t) = \int_{0}^{t} y dt + C.$$

Поскольку можно интегрировать любую непрерывную функцию, получаем:

$$\forall f \in Y \equiv C[0,1],$$

то есть образ состоит из непрерывных функций:

$$\operatorname{Im} A=Y \Rightarrow \exists A_r^{-1}. $$

Теперь покажем, что левый обратный оператор, напротив, не существует.

Условие $$\operatorname{ker} A = 0$$ означает, что $$Ax = 0 \Rightarrow x' = 0,$$ что достигается при любой константе, а не только при $$x = 0.$$ Таким образом, получаем противоречие с определением левого обратного оператора.

Источники

1. Треногин В.А. "Функциональный анализ", 2002.

2. Точилин П.А., Ашабоков А.Н., Паршиков М.В. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2024—2025