Самосопряжённый линейный оператор

Определение самосопряжённого оператора

Пусть $$H$$ - гильбертово комплексное пространство (вещественный случай сводится к рассматриваемому посредством комплексификации).

Определение 1. Оператор $$A \in \mathcal{L}(H)$$ называется самосопряжённым (или эрмитовым), если $$A^* = A$$, т. е. если $$A$$ совпадает со своим сопряжённым.

Согласно этому определению $$A$$ - самосопряженный, если для любых $$x, y \in H$$ \begin{align*} (Ax, y) = (x, Ay) \end{align*}

Свойства самосопряжённого оператора

Теорема 1.

Пусть $$A$$ и $$B$$ - самосопряженные операторы в $$H$$, а $$\alpha$$ и $$\beta$$ - вещественные числа; тогда $$\alpha A + \beta B$$ - самосопряжённый оператор в $$H$$.

Доказательство.

Пользуясь определением оператора $$\alpha A + \beta B$$, линейностью скалярного произведения и самосопряжённостью $$A$$ и $$B$$, получаем

\begin{align*} ((\alpha A + \beta B)x, y) = (\alpha A x + \beta Bx, y) = \alpha (Ax, y) + \beta (Bx, y) = \end{align*} \begin{align*} = \alpha (x, Ay) + \beta (x, By) = (x, \alpha A y + \beta B y) = (x, (\alpha A + \beta B)y) \end{align*} Теорема доказана. $$\square$$

Теорема 2.

Пусть операторы $$A$$ и $$B$$ — самосопряжённые. Оператор $$AB$$ является самосопряжённым в том и только в том случае, когда $$A$$ и $$B$$ перестановочны.

Доказательство.

Доказательство вытекает из равенства \begin{align*} (ABx, y) = (Bx, Ay) = (x, BAy). \end{align*} $$\square$$

Теорема 3.

Если $$A$$ самосопряжён, то число $$(Ax, x)$$ вещественно для любых $$x \in H$$.

Доказательство.

\begin{align*} (A x, x) = (x, A x) = \overline{(A x, x)}. \end{align*} Комплексное число $$(A x, x)$$ совпадает со своим комплексно сопряжённым и, значит, вещественно. $$\square$$

Теорема 4.

Если оператор $$A$$ - самосопряжённый, то \begin{align*} \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} |(Ax, x)|. \end{align*}

Доказательство.

Пусть $$ c_A = \sup_{\|x\|\leq 1} |(Ax, x)| $$. По неравенству Коши--Буняковского и по свойству нормы линейного оператора имеем $$ c_A = |(Ax, x)| \leq \|Ax\| \|x\| \leq \|A\| $$. Итак,

\begin{align*} c_A \leq \|A\|. \end{align*}

Докажем теперь противоположное неравенство $$ \|A\| \geq c_A $$, откуда и будет следовать утверждение теоремы.

Заметим сначала, что для любого $$ x \in H $$, $$ x \neq 0 $$

\begin{align*} |(Ax, x)| \leq c_A \|x\|^2. \tag{3} \end{align*}

Действительно, если $$ \|x\| \leq 1 $$, то

\begin{align*} |(Ax, x)| \leq c_A. \end{align*}

Если $$ x \neq 0 $$, $$ \left( A \frac{x}{\|x\|}, \frac{x}{\|x\|} \right) \leq c_A $$, откуда, по линейности $$ A $$ и свойству 3 скалярного произведения, получаем (3).

Теперь рассмотрим следующие тождества:

\begin{align*} (A(x + y), x + y) &= (Ax, x) + (Ax, y) + (Ay, x) + (Ay, y) \\ &= (Ax, x) + 2 \operatorname{Re}(Ax, y) + (Ay, y), \\ (A(x - y), x - y) &= (Ax, x) - 2 \operatorname{Re}(Ax, y) + (Ay, y). \end{align*}

Мы воспользовались тем, что

\begin{align*} (Ax, y) + (Ay, x) = (Ax, y) + (y, Ax) = (Ax, y) + \overline{(Ax, y)} = 2 \operatorname{Re}(Ax, y), \end{align*}

где $$ \operatorname{Re} \lambda $$ — действительная часть комплексного числа $$ \lambda $$; $$ \bar{\lambda} $$ — число, комплексно сопряжённое с $$ \lambda $$. Вычитая из первого тождества второе, получим

\begin{align*} 4 \operatorname{Re}(Ax, y) = (A(x + y), x + y) - (A(x - y), x - y). \end{align*}

Оценивая по модулю и используя неравенство (3) и равенство параллелограмма, находим

\begin{align*} 4 |\operatorname{Re}(Ax, y)| \leq |(A(x + y), x + y)| + |(A(x - y), x - y)| \leq c_A (\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2) = 2c_A (\|x\|^2 + \|y\|^2). \end{align*}