Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе

Обратный и непрерывно обратимый оператор

Определение 1. $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=оператор}{\text{Оператор}}$$ $$A$$ называется обратимым, если для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ уравнение $$Ax = y$$ имеет единственное решение.

Если $$A$$ обратим, то каждому $$y \in \operatorname{Im} A$$ можно поставить в соответствие единственный элемент $$x \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=множеством%20определения}{D(A)},$$ являющийся решением уравнения $$Ax = y.$$ Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к $$A$$ и обозначается $$A^{-1}.$$

Теорема 1. Оператор $$ A^{-1} $$ существует и ограничен на $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=областью%20значений}{\text{области значений}}$$ тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной $$ m > 0 $$ и любого $$ x \in D(A) $$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Необходимость

Докажем, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ верно $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Из ограниченности $$A^{-1}$$ следует: существует $$c > 0$$ такое, что для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ выполняется $$\|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\|.$$

Возьмём произвольный $$x \in D(A)$$ и положим $$y = Ax$$, тогда $$y \in \operatorname{Im} A.$$ Так как $$A^{-1}$$ существует, имеем $$A^{-1}y = x.$$

Подставляем $$y = Ax$$ в неравенство ограниченности:

$$\|x\| = \|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\| = c \|Ax\| \Longleftrightarrow \|Ax\| \geqslant \dfrac{1}{c} \|x\|.$$

Обозначая $$m = \dfrac{1}{c} > 0$$, получаем искомое неравенство.

Достаточность

Теперь известно, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ выполнено неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Докажем существование $$A^{-1}$$. Из неравенства следует, что

$$Ax = 0 ⇒ 0 = \|Ax\| \geqslant m \|x\| \geqslant 0,$$

откуда $$\|x\| = 0$$, то есть $$x = 0$$.

Это означает, что ядро оператора $$A$$ тривиально:

$$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in D(A) : Ax = 0 \} = \{0\}.$$

Для линейного оператора инъективность ($$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$) эквивалентна существованию обратного оператора $$A^{-1}$$, определённого на $$ \operatorname{Im} A$$. Таким образом, $$A^{-1}$$ существует.

Докажем ограниченность $$A^{-1}$$. Возьмём произвольный $$y \in \operatorname{Im} A.$$ Так как $$A^{-1}$$ существует, найдётся единственный $$x \in D(A)$$ такой, что $$Ax = y$$ и $$x = A^{-1}y.$$

Подставим $$x = A^{-1}y$$ в исходное неравенство:

$$\|A(A^{-1}y)\| \geqslant m \|A^{-1}y\|.$$

Но $$A(A^{-1}y) = y$$, поэтому: $$\|y\| \geqslant m \|A^{-1}y\| \Longleftrightarrow \|A^{-1}y\| \leqslant \dfrac{1}{m} \|y\|.$$

Это и означает ограниченность оператора $$A^{-1}$$ на $$\operatorname{Im} A$$ с константой $$c = \dfrac{1}{m}. ■$$

Определение 2. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется непрерывно обратимым, если оператор $$A$$ обратим и обратный оператор имеет конечную норму $$||A^{-1}||<\infty.$$

Теорема 2. Пусть $$X, Y —$$ нормированные пространства. Оператор $$A: X \to Y$$ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда $$\operatorname{Im} A = Y$$ и для некоторой постоянной $$m > 0$$ и для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема 3. Пусть $$X, Y —$$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=банаховым%20пространством}{\text{банаховы пространства}}$$, оператор $$A: X \to Y —$$ линейный $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=ограниченным}{\text{ограниченный }}$$и обратимый. Тогда $$A$$ непрерывно обратим.

Для доказательства теоремы воспользуемся леммой о разложении элемента по всюду плотному множеству.

Лемма. Пусть $$ X $$ $$—$$ банахово пространство; \( M \subset X \) $$—$$ всюду плотное множество в \( X \); \( y \in X \) — произвольный ненулевой элемент. Тогда \( y \) можно представить в виде сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} y_n, \) где \(\| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}, \quad k = 1,2,\dots\)

Так как \( M \) плотно в \( X \), для любого элемента \( z \in X \) и любого \( \varepsilon > 0 \) существует \( m \in M \) такая, что $$ \| z - m \| < \varepsilon. $$ Элементы \( y_k \) строим последовательно, используя плотность \( M \). Выберем \( y_1 \in M \) так, чтобы $$ \| y - y_1 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2}.$$ Это возможно, так как шар \( B \) \(\left(y, \dfrac{\|y\|}{2}\right)\) содержит элементы из \( M \). Выберем \( y_2 \in M \) так, чтобы $$ \| y - y_1 - y_2 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{4}.$$ После выбора \( y_1, \dots, y_{n-1} \) выберем \( y_n \in M \) так, чтобы $$\left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n}. (*)$$ Это возможно, так как множество \( M \) плотно и позволяет аппроксимировать остаток \( y - \sum_{k=1}^{n-1} y_k \) с точностью \( \dfrac{\|y\|}{2^n} \).

Из $$(*)$$ следует, что $$ \left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n} \to 0 \quad \text{при } n \to \infty. $$ Следовательно, $$ y = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n y_k = \sum_{k=1}^\infty y_k. $$

Докажем по индукции, что \( \| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k} \).

Для \( y_1 \): $$ \| y_1 \| = \| y_1 - y + y \| \leqslant \| y_1 - y \| + \| y \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2} + \|y\| = \dfrac{3\|y\|}{2}. $$

Для \( y_2 \): $$ \| y_2 \| = \| y_2 + (y_1 - y) + (y - y_1) \| \leqslant \| y - y_1 - y_2 \| + \| y - y_1 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{4} + \dfrac{\|y\|}{2} = \dfrac{3\|y\|}{4}.$$

Для \( y_n \): $$ \| y_n \| = \| (y_n + \dots + y_1 - y) + (y - y_1 - \dots - y_{n-1}) \| \leqslant \left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| + \left\| y - \sum_{k=1}^{n-1} y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n} + \dfrac{\|y\|}{2^{n-1}} = \dfrac{3\|y\|}{2^n}.$$

Таким образом, для всех \( k \) выполняется $$ \| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}. $$ $$■$$

Докажем теперь теорема Банаха об обратном операторе.

Для каждого \( k \in \mathbb{N} \) определим множество: \[ M_k = \{ y \in Y : \|A^{-1}y\| \leqslant k\|y\| \}. \]

Каждое \( M_k \) замкнуто как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении. Любой \( y \in Y \) принадлежит некоторому \( M_k \) $$—$$ достаточно взять \( k \geqslant \dfrac{\|A^{-1}y\|}{\|y\|} \) для \( y \neq 0 \), следовательно, \( Y = \bigcup_{k=1}^\infty M_k. \)

Так как \( Y \) — полное метрическое пространство, по теореме $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Замкнутый_линейный_оператор#:~:text=''(Бэра-Хаусдорфа%20о%20категориях)''}{\text{Бэра-Хаусдорфа о категориях}}$$ хотя бы одно из \( M_k \) (обозначим его \( M_n \)) не является нигде не плотным. Значит, существует шар \( B \subset Y \), в котором \( M_n \) плотно.

Пусть \( B = B(y_0, r) \) — шар, в котором \( M_n \) плотно. Рассмотрим шаровой слой: \[ P = \{ z \in Y : \beta < \|z - y_0\| < \alpha \}, \] где \( 0 < \beta < \alpha < r \).

Слой \( P \) содержится в \( B \) и также содержит плотное в нём множество \( M_n \).

Рассмотрим сдвинутый слой: \[ P_0 = P - y_0 = \{ z \in Y : \beta < \|z\| < \alpha \}. \] Для любого \( z \in P \cap M_n \) имеем \( z - y_0 \in P_0 \). Оценим: \[ \begin{aligned} \|A^{-1}(z - y_0)\| &\leq \|A^{-1}z\| + \|A^{-1}y_0\| \leq n\|z\| + n\|y_0\| = n(\|z - y_0 + y_0\| + \|y_0\|) \leqslant\\ &\leqslant n(\|z - y_0\| + 2\|y_0\|) = n\|z - y_0\|\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\|z - y_0\|}\right) \leq n\|z - y_0\|\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\beta}\right). \end{aligned} \] Положим: \[ N = n\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\beta}\right). \] Тогда для всех \( z \in P \cap M_n \) выполняется: \[ \|A^{-1}(z - y_0)\| \leqslant N\|z - y_0\|, \] т.е. \( z - y_0 \in M_N \).

Так как \( M_n \) плотно в \( P \), множество \( \{z - y_0 : z \in P \cap M_n\} \) плотно в \( P_0 \). Следовательно, \( M_N \) плотно в \( P_0 \).

Возьмём произвольный ненулевой \( y \in Y \). Подберём \( \lambda \in \mathbb{R} \) так, чтобы: \[ \beta < \|\lambda y\| < \alpha \quad \Rightarrow \quad \lambda y \in P_0. \] Так как \( M_N \) плотно в \( P_0 \), существует последовательность \( \{y_k\} \subset M_N \), сходящаяся к \( \lambda y \). Тогда \( \dfrac{1}{\lambda}y_k \in M_N \) : множество \( M_N \) однородно, и \( \dfrac{1}{\lambda}y_k \to y \).

Таким образом, \( M_N \) плотно в \( Y \setminus \{0\} \), а значит, и в \( Y \).

Для произвольного ненулевого \( y \in Y \) по лемме о разложении (так как \( M_N \) плотно в \( Y \)): \[ y = \sum_{k=1}^\infty y_k, \quad y_k \in M_N, \quad \|y_k\| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}. \]

Рассмотрим элементы \( x_k = A^{-1}y_k \in X \). Так как \( y_k \in M_N \): \[ \|x_k\| = \|A^{-1}y_k\| \leqslant N\|y_k\| \leqslant \dfrac{3N\|y\|}{2^k}. \]

Ряд \( \sum_{k=1}^\infty x_k \) сходится в \( X \) по признаку Вейерштрасса, так как: \[ \sum_{k=1}^\infty \|x_k\| \leqslant 3N\|y\|\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k} = 3N\|y\|. \]

Обозначим \( x = \sum_{k=1}^\infty x_k \). Тогда \( \|x\| \leqslant 3N\|y\|. \)

В силу непрерывности \( A \): \[ Ax = A\left(\sum_{k=1}^\infty x_k\right) = \sum_{k=1}^\infty A x_k = \sum_{k=1}^\infty y_k = y. \] Так как \( A \) взаимно однозначен, то \( x = A^{-1}y \).

Из полученной оценки следует: \[ \|A^{-1}y\| = \|x\| \leqslant 3N\|y\| \quad \forall y \in Y. \] Таким образом, \( A^{-1} \) ограничен с константой \( 3N \). $$■$$

Левый и правый обратные операторы

Определение 3. Пусть $$A \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=линейным%2C%20если}{\mathcal{L}(X, Y).}$$ Оператор $$A_r^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть правым обратным для $$A$$, если $$AA_r^{-1} = I_Y.$$

Определение 4. Пусть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$. Оператор $$A_l^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть левым обратным к $$A$$, если $$A_l^{-1}A = I_X.$$

Замечание. Таким образом, оператор называется обратным, если $$AA_r^{-1} = A_l^{-1}A = AA^{-1} = A^{-1}A = I_Y = I_X.$$

Условия существования обратного оператора

$$\forall y\in Y \, \exists A^{-1} \Longleftrightarrow $$ уравнение $$Ax=y$$ имеет единственное решение $$\forall y\in Y$$ $$\Longleftrightarrow \operatorname{ker}A = \{0\}$$ и $$\operatorname{Im}A = Y.$$

Замечание. Наличие только нуля у ядра является необходимым условием существования левого обратного оператора; совпадение образа оператора со всем пространством — необходимым условием существования правого обратного оператора.

Докажем эти необходимые условия$$:$$

1) если $$\exists$$ $$A_r^{-1}$$, то $$\operatorname{Im}(A) = Y;$$

2) если $$\exists$$ $$A_l^{-1}$$, то $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}.$$

1). По условию $$\exists A_r^{-1} : Y \to X$$ — правый обратный к $$A$$, то есть $$A \big( A_r^{-1} y \big) = y \quad \forall y \in Y.$$

Зафиксируем произвольный $$y \in Y$$. Из равенства $$A(A_r^{-1} y) = y$$ следует, что элемент $$x = A_r^{-1} y \in X$$ таков, что $$A x = y.$$

Значит, для каждого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$, а именно $$x = A_r^{-1} y$$, для которого $$A x = y.$$

Поэтому $$y \in \operatorname{Im}(A)$$ для любого $$y \in Y$$. Отсюда $$Y \subset \operatorname{Im}(A).$$

По определению $$\operatorname{Im}(A) \subset Y$$, следовательно, $$\operatorname{Im}(A) = Y.$$

Замечание. Условие существования правого обратного $$A_r^{-1}$$ гарантирует, что оператор $$A$$ действует сюръективно на $$Y$$ и таким образом является условием существования решения $$Ax = y$$ для любого $$y \in Y.$$

2). Возьмём любой элемент $$x \in \operatorname{ker}(A)$$. Тогда $$Ax = 0,$$ так как по определению ядра $$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in X : Ax = 0 \}.$$

Применим к обеим частям левый обратный оператор $$A_l^{-1}$$ : $$A_l^{-1}(Ax) = A_l^{-1}(0).$$

Упростим полученное выражение:

Левая часть : $$A_l^{-1}(Ax) = (A_l^{-1}A)x = I_X \cdot x = x$$

Правая часть : $$A_l^{-1}(0) = 0$$, так как любой линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой.

Следовательно, $$x = 0.$$

Таким образом, единственный элемент в ядре $$\operatorname{ker}(A)$$ — это нулевой вектор.

Замечание. Из тривиальности ядра следует единственность решения. Предположим, что уравнение $$Ax = y$$ имеет два различных решения $$x_1$$ и $$x_2$$, уравнения которых будут выглядеть так $$: Ax_1 = y, Ax_2 = y.$$ Вычтем одно равенство из другого$$: Ax_1 - Ax_2 = y - y = 0.$$ Из линейности оператора следует, что $$A (x_1 - x_2) = 0.$$ Это означает, что разность $$x_1 - x_2$$ принадлежит ядру оператора. Но мы доказали, что $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$, следовательно, $$x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2.$$

Теорема 4. Если для оператора $$A \in \mathcal{L}(X,Y)$$ существуют одновременно правый обратный $$A_r^{-1}$$ и левый обратный $$A_l^{-1}$$, то существует оператор $$A^{-1}$$, обратный к $$A$$, и $$A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Воспользуемся тождественными оператороми $$A A_r^{-1}$$ и $$A_l^{-1} A$$ в $$Y$$ и $$X$$ соответственно и свойством ассоциативности умножения:

$$A_l^{-1} = A_l^{-1} (A A_r^{-1}) = (A_l^{-1} A) A_r^{-1} = I_X \cdot A_r^{-1} = A_r^{-1}.$$

Отсюда следует, что оператор $$A$$ обратим, причём $$ A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Оператор $$A$$ сюръективен в силу существования решения для любого $$y$$, что гарантируется правым обратным оператором, и инъективен в силу единственности решения, что гарантируется левым обратным оператором.

Таким образом, $$A$$ является биекцией между пространствами $$X$$ и $$Y$$, и обратный оператор существует как левый и правый одновременно. $$■$$

Примеры

Пример обратного оператора

Рассмотрим в пространстве непрерывных функций $$C[0,1]$$ интегральное уравнение вида:

$$(Ax)(t) \equiv x(t) - \int_{0}^{1} t s \, x(s) \, ds = y(t),$$

где $$y(t) \in C[0,1]$$ задана, $$x(t)$$ — искомая функция.

Заметим, что интеграл $$\int_{0}^{1} s x(s) \, ds$$ представляет собой постоянное число, не зависящее от $$t$$. Обозначим:

$$c = \int_{0}^{1} s x(s) \, ds.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$$x(t) - t \cdot c = y(t),$$

откуда $$x(t) = y(t) + t \cdot c.$$

Подставим выражение для $$x(t)$$ в определение $$c:$$

$$c = \int_{0}^{1} s \left( y(s) + s c \right) ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + c \int_{0}^{1} s^{2} \, ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + \dfrac{c}{3}.$$

Решаем относительно $$c$$$$:$$

$$c - \dfrac{c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

$$\dfrac{2c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

$$c = \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds.$$

Итого, находим:

$$x(t) = y(t) + t \cdot \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из полученной формулы следует, что решение существует и единственно для любой $$y \in C[0,1]$$, и оператор $$A^{-1}$$ задаётся явно:

$$(A^{-1}y)(t) = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из $$A(A^{-1}y) = y$$ следует, что оператор $$A^{-1}$$ действительно является обратным для любой функции $$y$$ и оператор $$A$$ непрерывно обратим в пространстве $$C[0,1].$$

Пример оператора, не являющегося обратным

Рассмотрим оператор $$A$$, действующий из пространства непрерывно дифференцируемых функций $$C^1[0,1]$$ в пространство непрерывных функций $$C[0,1],$$ который имеет вид $$(Ax)(t) = x'(t).$$

Докажем существование правого оператора. Имеем:

$$Ax = y; \quad x'(t)=y;$$

$$x = A_r^{-1} y.$$

Рассмотрим $$x(t) = \int_{0}^{t} y dt + C.$$

Поскольку можно интегрировать любую непрерывную функцию, получаем:

$$\forall f \in Y \equiv C[0,1],$$

то есть образ состоит из непрерывных функций:

$$\operatorname{Im} A=Y \Rightarrow \exists A_r^{-1}. $$

Теперь покажем, что левый обратный оператор, напротив, не существует.

Условие $$\operatorname{ker} A = 0$$ означает, что $$Ax = 0 \Rightarrow x' = 0,$$ что достигается при любой константе, а не только при $$x = 0.$$ Таким образом, получаем противоречие с определением левого обратного оператора.

Источники

1. Треногин В.А. "Функциональный анализ", 2002.

2. Точилин П.А., Ашабоков А.Н., Паршиков М.В. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2024—2025