Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе

Обратный и непрерывно обратимый оператор

Определение 1. $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=оператор}{\text{Оператор}}$$ $$A$$ называется обратимым, если для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ уравнение $$Ax = y$$ имеет единственное решение.

Если $$A$$ обратим, то каждому $$y \in \operatorname{Im} A$$ можно поставить в соответствие единственный элемент $$x \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=множеством%20определения}{D(A)},$$ являющийся решением уравнения $$Ax = y.$$ Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к $$A$$ и обозначается $$A^{-1}.$$

Теорема 1. Оператор $$ A^{-1} $$ существует и ограничен на $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=областью%20значений}{\text{области значений}}$$ тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной $$ m > 0 $$ и любого $$ x \in D(A) $$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Необходимость

Докажем, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ верно $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Из ограниченности $$A^{-1}$$ следует: существует $$c > 0$$ такое, что для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ выполняется $$\|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\|.$$

Возьмём произвольный $$x \in D(A)$$ и положим $$y = Ax$$, тогда $$y \in \operatorname{Im} A.$$ Так как $$A^{-1}$$ существует, имеем $$A^{-1}y = x.$$

Подставляем $$y = Ax$$ в неравенство ограниченности:

$$\|x\| = \|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\| = c \|Ax\| \Longleftrightarrow \|Ax\| \geqslant \dfrac{1}{c} \|x\|.$$

Обозначая $$m = \dfrac{1}{c} > 0$$, получаем искомое неравенство.

Достаточность

Теперь известно, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ выполнено неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Докажем существование $$A^{-1}$$. Из неравенства следует, что

$$Ax = 0 ⇒ 0 = \|Ax\| \geqslant m \|x\| \geqslant 0,$$

откуда $$\|x\| = 0$$, то есть $$x = 0$$.

Это означает, что ядро оператора $$A$$ тривиально:

$$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in D(A) : Ax = 0 \} = \{0\}.$$

Для линейного оператора инъективность ($$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$) эквивалентна существованию обратного оператора $$A^{-1}$$, определённого на $$ \operatorname{Im} A$$. Таким образом, $$A^{-1}$$ существует.

Докажем ограниченность $$A^{-1}$$. Возьмём произвольный $$y \in \operatorname{Im} A.$$ Так как $$A^{-1}$$ существует, найдётся единственный $$x \in D(A)$$ такой, что $$Ax = y$$ и $$x = A^{-1}y.$$

Подставим $$x = A^{-1}y$$ в исходное неравенство:

$$\|A(A^{-1}y)\| \geqslant m \|A^{-1}y\|.$$

Но $$A(A^{-1}y) = y$$, поэтому: $$\|y\| \geqslant m \|A^{-1}y\| \Longleftrightarrow \|A^{-1}y\| \leqslant \dfrac{1}{m} \|y\|.$$

Это и означает ограниченность оператора $$A^{-1}$$ на $$\operatorname{Im} A$$ с константой $$c = \dfrac{1}{m}. ■$$

Определение 2. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется непрерывно обратимым, если оператор $$A$$ обратим и обратный оператор имеет конечную норму $$||A^{-1}||<\infty.$$

Теорема 2. Пусть $$X, Y —$$ нормированные пространства. Оператор $$A: X \to Y$$ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда $$\operatorname{Im} A = Y$$ и для некоторой постоянной $$m > 0$$ и для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема 3 (Банаха об обратном операторе). Пусть $$X, Y —$$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=банаховым%20пространством}{\text{банаховы пространства}}$$, оператор $$A: X \to Y —$$ линейный $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=ограниченным}{\text{ограниченный }}$$и обратимый. Тогда $$A$$ непрерывно обратим.

Для доказательства теоремы воспользуемся леммой о разложении элемента по всюду плотному множеству.

Лемма. Пусть $$ X $$ $$—$$ банахово пространство; \( M \subset X \) $$—$$ всюду плотное множество в \( X \); \( y \in X \) — произвольный ненулевой элемент. Тогда \( y \) можно представить в виде сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} y_n, \) где \(\| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}, \quad k = 1,2,\dots\)

Так как \( M \) плотно в \( X \), для любого элемента \( z \in X \) и любого \( \varepsilon > 0 \) существует \( m \in M \) такая, что $$ \| z - m \| < \varepsilon. $$ Элементы \( y_k \) строим последовательно, используя плотность \( M \). Выберем \( y_1 \in M \) так, чтобы $$ \| y - y_1 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2}.$$ Это возможно, так как шар \( B \) \(\left(y, \dfrac{\|y\|}{2}\right)\) содержит элементы из \( M \). Выберем \( y_2 \in M \) так, чтобы $$ \| y - y_1 - y_2 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{4}.$$ После выбора \( y_1, \dots, y_{n-1} \) выберем \( y_n \in M \) так, чтобы $$\left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n}. (*)$$ Это возможно, так как множество \( M \) плотно и позволяет аппроксимировать остаток \( y - \sum_{k=1}^{n-1} y_k \) с точностью \( \dfrac{\|y\|}{2^n} \).

Из $$(*)$$ следует, что $$ \left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n} \to 0 \quad \text{при } n \to \infty. $$ Следовательно, $$ y = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n y_k = \sum_{k=1}^\infty y_k. $$

Докажем по индукции, что \( \| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k} \).

Для \( y_1 \): $$ \| y_1 \| = \| y_1 - y + y \| \leqslant \| y_1 - y \| + \| y \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2} + \|y\| = \dfrac{3\|y\|}{2}. $$

Для \( y_2 \): $$ \| y_2 \| = \| y_2 + (y_1 - y) + (y - y_1) \| \leqslant \| y - y_1 - y_2 \| + \| y - y_1 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{4} + \dfrac{\|y\|}{2} = \dfrac{3\|y\|}{4}.$$

Для \( y_n \): $$ \| y_n \| = \| (y_n + \dots + y_1 - y) + (y - y_1 - \dots - y_{n-1}) \| \leqslant \left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| + \left\| y - \sum_{k=1}^{n-1} y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n} + \dfrac{\|y\|}{2^{n-1}} = \dfrac{3\|y\|}{2^n}.$$

Таким образом, для всех \( k \) выполняется $$ \| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}. $$ $$■$$

Докажем теперь теорему Банаха об обратном операторе.

Для каждого \( k \in \mathbb{N} \) определим множество: \[ M_k = \{ y \in Y : \|A^{-1}y\| \leqslant k\|y\| \}. \]

Каждое \( M_k \) замкнуто как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении. Любой \( y \in Y \) принадлежит некоторому \( M_k \) $$—$$ достаточно взять \( k \geqslant \dfrac{\|A^{-1}y\|}{\|y\|} \) для \( y \neq 0 \), следовательно, \( Y = \bigcup_{k=1}^\infty M_k. \)

Так как \( Y \) — полное метрическое пространство, по теореме $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Замкнутый_линейный_оператор#:~:text=банахово%20пространство%20является%20множеством%20II%20категории}{\text{Бэра-Хаусдорфа о категориях}}$$ хотя бы одно из \( M_k \) (обозначим его \( M_n \)) не является нигде не плотным. Значит, существует шар \( B \subset Y \), в котором \( M_n \) плотно.

Пусть \( B = B(y_0, r) \) — шар, в котором \( M_n \) плотно. Рассмотрим шаровой слой: \[ P = \{ z \in Y : \beta < \|z - y_0\| < \alpha \}, \] где \( 0 < \beta < \alpha < r \).

Слой \( P \) содержится в \( B \) и также содержит плотное в нём множество \( M_n \).

Рассмотрим сдвинутый слой: \[ P_0 = P - y_0 = \{ z \in Y : \beta < \|z\| < \alpha \}. \] Для любого \( z \in P \cap M_n \) имеем \( z - y_0 \in P_0 \). Оценим: \[ \begin{aligned} \|A^{-1}(z - y_0)\| &\leq \|A^{-1}z\| + \|A^{-1}y_0\| \leq n\|z\| + n\|y_0\| = n(\|z - y_0 + y_0\| + \|y_0\|) \leqslant\\ &\leqslant n(\|z - y_0\| + 2\|y_0\|) = n\|z - y_0\|\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\|z - y_0\|}\right) \leq n\|z - y_0\|\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\beta}\right). \end{aligned} \] Положим: \[ N = n\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\beta}\right). \] Тогда для всех \( z \in P \cap M_n \) выполняется: \[ \|A^{-1}(z - y_0)\| \leqslant N\|z - y_0\|, \] т.е. \( z - y_0 \in M_N \).

Так как \( M_n \) плотно в \( P \), множество \( \{z - y_0 : z \in P \cap M_n\} \) плотно в \( P_0 \). Следовательно, \( M_N \) плотно в \( P_0 \).

Возьмём произвольный ненулевой \( y \in Y \). Подберём \( \lambda \in \mathbb{R} \) так, чтобы: \[ \beta < \|\lambda y\| < \alpha \quad \Rightarrow \quad \lambda y \in P_0. \] Так как \( M_N \) плотно в \( P_0 \), существует последовательность \( \{y_k\} \subset M_N \), сходящаяся к \( \lambda y \). Тогда \( \dfrac{1}{\lambda}y_k \in M_N \) : множество \( M_N \) однородно, и \( \dfrac{1}{\lambda}y_k \to y \).

Таким образом, \( M_N \) плотно в \( Y \setminus \{0\} \), а значит, и в \( Y \).

Для произвольного ненулевого \( y \in Y \) по лемме о разложении (так как \( M_N \) плотно в \( Y \)): \[ y = \sum_{k=1}^\infty y_k, \quad y_k \in M_N, \quad \|y_k\| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}. \]

Рассмотрим элементы \( x_k = A^{-1}y_k \in X \). Так как \( y_k \in M_N \): \[ \|x_k\| = \|A^{-1}y_k\| \leqslant N\|y_k\| \leqslant \dfrac{3N\|y\|}{2^k}. \]

Ряд \( \sum_{k=1}^\infty x_k \) сходится в \( X \) по признаку Вейерштрасса, так как: \[ \sum_{k=1}^\infty \|x_k\| \leqslant 3N\|y\|\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k} = 3N\|y\|. \]

Обозначим \( x = \sum_{k=1}^\infty x_k \). Тогда \( \|x\| \leqslant 3N\|y\|. \)

В силу непрерывности \( A \): \[ Ax = A\left(\sum_{k=1}^\infty x_k\right) = \sum_{k=1}^\infty A x_k = \sum_{k=1}^\infty y_k = y. \] Так как \( A \) взаимно однозначен, то \( x = A^{-1}y \).

Из полученной оценки следует: \[ \|A^{-1}y\| = \|x\| \leqslant 3N\|y\| \quad \forall y \in Y. \] Таким образом, \( A^{-1} \) ограничен константой \( 3N \), значит, имеет конечную норму, следовательно, \(A\) непрерывно обратим. $$■$$

Применение

Следствие (теорема об открытом отображении). Линейное непрерывное отображение \(A\) банахова пространства \(X\) на все банахово пространство \(Y\) открыто.

Левый и правый обратные операторы

Определение 3. Пусть $$A \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=линейным%2C%20если}{\mathcal{L}(X, Y).}$$ Оператор $$A_r^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть правым обратным для $$A$$, если $$AA_r^{-1} = I_Y.$$

Определение 4. Пусть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$. Оператор $$A_l^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть левым обратным к $$A$$, если $$A_l^{-1}A = I_X.$$

Замечание. Таким образом, оператор называется обратным, если $$AA_r^{-1} = A_l^{-1}A = AA^{-1} = A^{-1}A = I_Y = I_X.$$

Условия существования обратного оператора

$$\forall y\in Y \, \exists A^{-1} \Longleftrightarrow $$ уравнение $$Ax=y$$ имеет единственное решение $$\forall y\in Y$$ $$\Longleftrightarrow \operatorname{ker}A = \{0\}$$ и $$\operatorname{Im}A = Y.$$

Замечание. Наличие только нуля у ядра является необходимым условием существования левого обратного оператора; совпадение образа оператора со всем пространством — необходимым условием существования правого обратного оператора.

Докажем эти необходимые условия$$:$$

1) если $$\exists$$ $$A_r^{-1}$$, то $$\operatorname{Im}(A) = Y;$$

2) если $$\exists$$ $$A_l^{-1}$$, то $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}.$$

1). По условию $$\exists A_r^{-1} : Y \to X$$ — правый обратный к $$A$$, то есть $$A \big( A_r^{-1} y \big) = y \quad \forall y \in Y.$$

Зафиксируем произвольный $$y \in Y$$. Из равенства $$A(A_r^{-1} y) = y$$ следует, что элемент $$x = A_r^{-1} y \in X$$ таков, что $$A x = y.$$

Значит, для каждого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$, а именно $$x = A_r^{-1} y$$, для которого $$A x = y.$$

Поэтому $$y \in \operatorname{Im}(A)$$ для любого $$y \in Y$$. Отсюда $$Y \subset \operatorname{Im}(A).$$

По определению $$\operatorname{Im}(A) \subset Y$$, следовательно, $$\operatorname{Im}(A) = Y.$$

Замечание. Условие существования правого обратного $$A_r^{-1}$$ гарантирует, что оператор $$A$$ действует сюръективно на $$Y$$ и таким образом является условием существования решения $$Ax = y$$ для любого $$y \in Y.$$

2). Возьмём любой элемент $$x \in \operatorname{ker}(A)$$. Тогда $$Ax = 0,$$ так как по определению ядра $$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in X : Ax = 0 \}.$$

Применим к обеим частям левый обратный оператор $$A_l^{-1}$$ : $$A_l^{-1}(Ax) = A_l^{-1}(0).$$

Упростим полученное выражение:

Левая часть : $$A_l^{-1}(Ax) = (A_l^{-1}A)x = I_X \cdot x = x$$

Правая часть : $$A_l^{-1}(0) = 0$$, так как любой линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой.

Следовательно, $$x = 0.$$

Таким образом, единственный элемент в ядре $$\operatorname{ker}(A)$$ — это нулевой вектор.

Замечание. Из тривиальности ядра следует единственность решения. Предположим, что уравнение $$Ax = y$$ имеет два различных решения $$x_1$$ и $$x_2$$, уравнения которых будут выглядеть так $$: Ax_1 = y, Ax_2 = y.$$ Вычтем одно равенство из другого$$: Ax_1 - Ax_2 = y - y = 0.$$ Из линейности оператора следует, что $$A (x_1 - x_2) = 0.$$ Это означает, что разность $$x_1 - x_2$$ принадлежит ядру оператора. Но мы доказали, что $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$, следовательно, $$x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2.$$

Теорема 4. Если для оператора $$A \in \mathcal{L}(X,Y)$$ существуют одновременно правый обратный $$A_r^{-1}$$ и левый обратный $$A_l^{-1}$$, то существует оператор $$A^{-1}$$, обратный к $$A$$, и $$A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Воспользуемся тождественными оператороми $$A A_r^{-1}$$ и $$A_l^{-1} A$$ в $$Y$$ и $$X$$ соответственно и свойством ассоциативности умножения:

$$A_l^{-1} = A_l^{-1} (A A_r^{-1}) = (A_l^{-1} A) A_r^{-1} = I_X \cdot A_r^{-1} = A_r^{-1}.$$

Отсюда следует, что оператор $$A$$ обратим, причём $$ A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Оператор $$A$$ сюръективен в силу существования решения для любого $$y$$, что гарантируется правым обратным оператором, и инъективен в силу единственности решения, что гарантируется левым обратным оператором.

Таким образом, $$A$$ является биекцией между пространствами $$X$$ и $$Y$$, и обратный оператор существует как левый и правый одновременно. $$■$$

Примеры

Пример обратного оператора

Рассмотрим в пространстве непрерывных функций $$C[0,1]$$ интегральное уравнение вида:

$$(Ax)(t) \equiv x(t) - \int_{0}^{1} t s \, x(s) \, ds = y(t),$$

где $$y(t) \in C[0,1]$$ задана, $$x(t)$$ — искомая функция.

Заметим, что интеграл $$\int_{0}^{1} s x(s) \, ds$$ представляет собой постоянное число, не зависящее от $$t$$. Обозначим:

$$c = \int_{0}^{1} s x(s) \, ds.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$$x(t) - t \cdot c = y(t),$$

откуда $$x(t) = y(t) + t \cdot c.$$

Подставим выражение для $$x(t)$$ в определение $$c:$$

$$c = \int_{0}^{1} s \left( y(s) + s c \right) ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + c \int_{0}^{1} s^{2} \, ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + \dfrac{c}{3}.$$

Решаем относительно $$c$$$$:$$

$$c - \dfrac{c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

$$\dfrac{2c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

$$c = \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds.$$

Итого, находим:

$$x(t) = y(t) + t \cdot \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из полученной формулы следует, что решение существует и единственно для любой $$y \in C[0,1]$$, и оператор $$A^{-1}$$ задаётся явно:

$$(A^{-1}y)(t) = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из $$A(A^{-1}y) = y$$ следует, что оператор $$A^{-1}$$ действительно является обратным для любой функции $$y$$ и оператор $$A$$ непрерывно обратим в пространстве $$C[0,1].$$

Пример оператора, не являющегося обратным

Рассмотрим оператор $$A$$, действующий из пространства непрерывно дифференцируемых функций $$C^1[0,1]$$ в пространство непрерывных функций $$C[0,1],$$ который имеет вид $$(Ax)(t) = x'(t).$$

Докажем существование правого оператора. Имеем:

$$Ax = y; \quad x'(t)=y;$$

$$x = A_r^{-1} y.$$

Рассмотрим $$x(t) = \int_{0}^{t} y dt + C.$$

Поскольку можно интегрировать любую непрерывную функцию, получаем:

$$\forall f \in Y \equiv C[0,1],$$

то есть образ состоит из непрерывных функций:

$$\operatorname{Im} A=Y \Rightarrow \exists A_r^{-1}. $$

Теперь покажем, что левый обратный оператор, напротив, не существует.

Условие $$\operatorname{ker} A = 0$$ означает, что $$Ax = 0 \Rightarrow x' = 0,$$ что достигается при любой константе, а не только при $$x = 0.$$ Таким образом, получаем противоречие с определением левого обратного оператора.

Источники

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Точилин П.А., Ашабоков А.Н., Паршиков М.В. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2024—2025

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976.