Теорема Банаха-Штейнгауза

Аннотация

Теорема Банаха-Штейнгауза (известная также как принцип равномерной ограниченности) — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с теоремой Хана-Банаха и её следствия и Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе.

Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве (банаховом пространстве), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).

Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.

Основные определения

Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между Нормированного пространства.

Определение 1. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется линейным оператором, если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:

1. $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);
2. $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).

Определение 2. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется ограниченным, если существует такое число $$C > 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство: \begin{equation*} \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X. \end{equation*} Замечание: В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Определение 3. Нормой оператора $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле: \begin{equation*} \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|. \end{equation*} Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.

Определение 4. Нормированное пространство $$X$$ называется полным (или банаховым), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.

Пример: Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).

Формулировка теоремы

Теорема (Банаха-Штейнгауза). Пусть $$X$$ — банахово пространство, $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.

Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть: \begin{equation*} \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| < \infty \quad \text{для каждого } x \in X, \end{equation*} то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть: \begin{equation*} \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| < \infty. \end{equation*}

Геометрическая интерпретация

Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.

Файл:BanachSteinhaus Vis.svg

Рис. 1. Иллюстрация принципа: Если для любого вектора $$x$$ (синие точки) образы $$A_n x$$ не уходят в бесконечность, то и «размеры» операторов (красная граница) не могут расти неограниченно.

Доказательство

Доказательство опирается на теорему Бэра о категориях. Это классический пример применения топологических методов в анализе.

Шаг 1. Построение множеств. Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$: \begin{equation*} M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}. \end{equation*} Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ замкнуто.

Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности. По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$). Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств: \begin{equation*} X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k. \end{equation*}

Шаг 3. Использование полноты пространства. Так как $$X$$ — банахово (полное метрическое) пространство, к нему применима теорема Бэра: полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.

То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r > 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$. \begin{equation*} B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| < r \} \subset M_{k_0}. \end{equation*}

Файл:Baire Ball Shift.svg

Рис. 2. Схема доказательства: Находим шар внутри множества $$M_{k_0}$$ и сдвигаем его в начало координат.

Шаг 4. Оценка нормы. Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор: \begin{equation*} y = x_0 + r z. \end{equation*} Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$. Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется: \begin{equation*} \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0. \end{equation*} Используя линейность оператора: \begin{equation*} A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0. \end{equation*} Оценим норму: \begin{equation*} \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0. \end{equation*} Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$: \begin{equation*} r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}. \end{equation*} Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно: \begin{equation*} \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}. \end{equation*} Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.

Важность условия полноты

Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.

Контрпример: Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным. Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу: \begin{equation*} f_n(x) = n \cdot x_n. \end{equation*} Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n > M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена. Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.