Теорема Банаха-Штейнгауза

Аннотация

Теорема Банаха-Штейнгауза (известная также как принцип равномерной ограниченности) — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с теоремой Хана-Банаха и её следствия и Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе.

Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве (банаховом пространстве), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).

Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.

Основные определения

Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.

Определение 1. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется линейным оператором, если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:

1. $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);
2. $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).

Определение 2. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется ограниченным, если существует такое число $$C > 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство: \begin{equation*} \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X. \end{equation*} Замечание: В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Определение 3. Нормой оператора $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле: \begin{equation*} \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|. \end{equation*} Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.

Определение 4. Нормированное пространство $$X$$ называется полным (или банаховым), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.

Пример: Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).

Формулировка теоремы

Теорема (Банаха-Штейнгауза). Пусть $$X$$ — банахово пространство, $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.

Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть: \begin{equation*} \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| < \infty \quad \text{для каждого } x \in X, \end{equation*} то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть: \begin{equation*} \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| < \infty. \end{equation*}

Геометрическая интерпретация

Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.

Доказательство

Доказательство опирается на Метрическое пространство. Это классический пример применения топологических методов в анализе.

Шаг 1. Построение множеств. Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$: \begin{equation*} M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}. \end{equation*} Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ замкнуто.

Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности. По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$). Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств: \begin{equation*} X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k. \end{equation*}

Шаг 3. Использование полноты пространства. Так как $$X$$ — банахово (полное метрическое) пространство, к нему применима теорема Бэра: полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.

То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r > 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$. \begin{equation*} B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| < r \} \subset M_{k_0}. \end{equation*}

Шаг 4. Оценка нормы. Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор: \begin{equation*} y = x_0 + r z. \end{equation*} Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$. Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется: \begin{equation*} \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0. \end{equation*} Используя линейность оператора: \begin{equation*} A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0. \end{equation*} Оценим норму: \begin{equation*} \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0. \end{equation*} Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$: \begin{equation*} r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}. \end{equation*} Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно: \begin{equation*} \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}. \end{equation*} Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.

Важность условия полноты

Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.

Контрпример: Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным. Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу: \begin{equation*} f_n(x) = n \cdot x_n. \end{equation*} Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n > M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена. Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022г.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.