Сепарабельность метрического пространства

Метрические пространства

Определение 1. Пусть $$X$$ — произвольное множество. Функция $$ d: X \times X \to \mathbb{R} $$ называется метрикой на $$X$$, если для любых $$x,y,z \in X$$ выполнены условия:

1. $$d(x,y) \geqslant 0$$ и $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$$;

2. $$d(x,y) = d(y,x)$$;

3. $$d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z)$$.

Пара $$(X,d)$$ называется метрическим пространством.

Метрика задаёт понятие расстояния между элементами и позволяет определить сходимость последовательностей, непрерывность отображений и другие важные свойства.

Плотные множества

Определение 2. Пусть $$(X,d)$$ — метрическое пространство и $$A \subset X$$. Множество $$A$$ называется плотным в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что $$ d(x,a) < \varepsilon. $$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

Сепарабельные метрические пространства

Определение 3. Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется сепарабельным, если в нём существует счётное плотное подмножество.

Примеры сепарабельных пространств

Пример 1. Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

Доказательство. Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

Пример 2. Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

Доказательство. Рассмотрим множество $$ \mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}. $$ Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

Сепарабельность нормированных пространств

Пусть $$X$$ — нормированное пространство с нормой $$\|\cdot\|$$. Норма порождает метрику $$ d(x,y) = \|x-y\|. $$

Определение 4. Нормированное пространство называется сепарабельным, если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

Теорема 1. Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

Доказательство. Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде $$ x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k, $$ где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

Сепарабельность функциональных пространств

Пример 3. Пространство $$C[0,1]$$ с нормой $$ \|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)| $$ является сепарабельным.

Идея доказательства. Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

Пример 4. Пространство $$L^p(0,1)$$ при $$1 \leqslant p < \infty$$ является сепарабельным.

Идея доказательства. Множество ступенчатых функций с рациональными значениями счётно и плотно в $$L^p(0,1)$$. $$\square$$

Сепарабельные гильбертовы пространства

Определение 5. Гильбертово пространство $$H$$ называется сепарабельным, если в нём существует счётное плотное подмножество.

Теорема 2. Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

Доказательство (идея). Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна. Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

Несепарабельные пространства

Пример 5. Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой $$ \|x\|_\infty = \sup_n |x_n| $$ не является сепарабельным.

Идея доказательства. Можно построить несчётное множество элементов, расстояние между любыми двумя из которых не меньше фиксированной положительной константы. Такое множество не допускает счётного плотного подмножества. $$\square$$

Список литературы

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.

2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.

3. Рудин У. «Функциональный анализ», 1999.