Задача о тележке

Задача о тележке

Постановка задачи

Рассмотрим задачу движение тележки. В движение тележку приводит тяга двигателя \(F_{\textbf{вн}}\),ей будет препятствовать вязкое трение \(F_{\textbf{тр}}= -k \dot{x}\) и сопротивление среды \(F_{сопр}=-d\dot{x}^2\).
По второму закону Ньютона:

$$ m \ddot{x} = -k \dot{x} - d \dot{x}^2+F_{\textbf{вн}}$$ $$ \ddot{x} = - \dfrac{k}{m} \dot{x} - \dfrac{d}{m} \dot{x}^2+\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m}$$

Обозначая $$ \dfrac{k}{m} = u_1 \in [u_1^{min},u_1^{max}], \frac{d}{m} = u_2 \in [u_2^{min},u_2^{max}],\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m} = u_3 \in [0,u_3^{max}]$$, и приводя к нормальному виду

$$x_1 = x, x_2 = \dot{x} $$,

получим следующую систему:

$$ \begin{equation} \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u^3\\ \quad u_1 \in [u_1^{min}, u_1^{max}],\quad 0<u_1^{min}<u_1^{max}\\ \quad u_2 \in [u_2^{min}, u_2^{max}],\quad 0<u_2^{min}<u_2^{max} \\ \quad u_3 \in [0,u_3^{max}],\quad 0 < u_3^{max} \end{equation} $$

Добавляем начальные условия:

$$ t_0 = 0, \\ x_1(0) = x_2(0) = 0,\\ t_1= T\\ x_1(T) = L\\ x_2(t) = \varepsilon $$

Наша цель минимизировать функционал:

$$ J = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)} $$

То есть мы хотим минимизировать наши усилии при этом передвинув тележку из точки 0 в точку с координатой L.\\ Как итог получаем систему:

$$ \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u_3\\ \quad u_1 \in [u_1^{min}, u_1^{max}],\quad 0<u_1^{min}<u_1^{max}\\ \quad u_2 \in [u_2^{min}, u_2^{max}],\quad 0<u_2^{min}<u_2^{max} \\ \quad u_3 \in [0,u_3^{max}],\quad 0 < u_3^{max} \\ \quad t_0 = 0, \quad x_1(0) = x_2(0) = 0 \\ \quad t_1 = T > 0, \quad x_1(T) = L, \quad x_2(T) = \varepsilon >0, \quad L > T \varepsilon \\ J = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)} $$

ПМП

Выпишем ПМП(Принцип максимума Понтрягина) для рассматриваемой задачи.
Первым шагом сделаем замену переменных:

\( x_0 = \int\limits_0^T u_3(t)dt \rightarrow \inf\limits_{u(\cdot)} \)

Тогда наша система примет вид:

\( \begin{cases} \dot{x}_0 = u_3,\\ \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u_3\\ \end{cases} \)

Функция Гамильтона-Понтрягина примет вид:

\( \mathscr{H} = \psi_0u_3 + \psi_1x_2 + \psi_2(u_3 - u_1x_2-u_2x_2^2) \)

Учитывая все выше сказанное, ПМП примет вид: Пусть $$ \{ x^*(\cdot), u^*(\cdot) \}$$ - оптимальная пара.
Тогда $$ \exists \tilde{\psi}:[t_0^*,t_1^*] \rightarrow \mathcal{R}^{n+1}$$ такая что:
(УН) $$\quad 1) \quad \psi^*(t) \neq 0 , \quad t \in [0,T], $$
(CC) $$ \quad 2)$$

\( \begin{cases} \dot{\psi}_0^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_0} = 0\\ \dot{\psi}_1^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_1} = 0\\ \dot{\psi}_2^* = - \dfrac{\partial \mathscr{H}}{\partial x_2} = - \psi_1^{0,*}+ \psi_2^*(u_1^*+2u_2^*x_2^*)\\ \end{cases} \)

(УМ) $$ \quad 3) \quad\mathscr{H}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t),\tilde{u}^*(t)) = \sup \limits_{u} \mathscr{H}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t),u)$$ для п.в. $$ t \in [0,T]$$
$$ \quad \quad \quad 4) $$

\( \psi_0^*(\cdot) \equiv const \leq 0,\\ \mathscr{M}(\tilde{\psi}^*(t),\tilde{x}^*(t)) \equiv const = 0 \)

Из УМ(Условие максимума) получаем:

\( u_1^* = \begin{cases} u_1^{min}, & \psi_2x_2 >0 \\ [u_1^{min},u_1^{max}], & \psi_2x_2 = 0 \\ u_1^{max},& \psi_2x_2 <0 \end{cases} \)

\( u_2^* = \begin{cases} u_2^{min}, & \psi_2 >0, x_2 \neq 0\\ [u_2^{min},u_2^{max}], & \psi_2 x_2 = 0\\ u_2^{max}, & \psi_2 <0 ,x_2 \neq 0 \end{cases} \)

\( u_3^* = \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_0^0+\psi_2 >0 \\ [0,u_3^{max}], & \psi_0^0+\psi_2 = 0\\ u_2^{max}, & \psi_0^0+\psi_2 < 0 \end{cases} \)

Рассматриваем случаи

Нормальный случай

Пусть $$\psi_0 \equiv \psi_0^0<0 $$,положим $$\psi_0 = -1 $$. Тогда из (УМ):

\( u_3^* = \begin{cases} u_3^{max}, & \psi_2 > 1\\ [0,u_3^{max}], & \psi_2 = 1 \\ 0 , & \psi_2 <1 \end{cases} \)

Движение при \psi_2^0>1

Движение в окрестности нуля

Начало движение из нуля, мы начнем разгоняться и в какой то довольно маленькой окрестности $$ u_3^* = u_3^{max}$$
В этой окрестности:

\( \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1 + u_2x_2)x_2 \)

В этой малой окрестности $$x_2 \approx 0, u_3^{max}>0 ,$$ то есть $$\dot{x}_2 > 0 .$$
В начале будет происходить ускорение и вся динамика будет описываться:

\( \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1^{min}+ u_2^{min}x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_1 = 0\\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1 +\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases} \)

с начальными условиями:

\( \begin{cases} \dot{x}_2(0) = 0 \\ \dot{\psi}_2(0) = \psi_2^0 >1 \\ \end{cases} \)

В этой системе мы можем решить систему с $x_2$ и $\psi_2$, только на них мы можем влиять и они не зависят от $x_1$ и $\psi_1$
Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} \dot{x}_2 = u_3^{max} - (u_1^{min}+ u_2^{min}x_2)x_2 \\ \dot{\psi}_2 = - \psi_1 +\psi_2(u_1^{min}+2u_2^{min}x_2) \end{cases} \)

Посмотрим как будут вести себя траектории, на картинке схематично изображены варианты траекторий:

Рассмотрим 2-ую траекторию

Хотим доказать невозможность такой траектории. Ищем особые точки для $$x_2$$:

\( \dot{x}_2 = 0 \Leftrightarrow u_2^{min}x_2^2+u_1^{min}x_2-u_3^{max} = 0 \)

\( x_2 = \dfrac{-u_1^{min} \pm \sqrt{D}}{2u_2^{min}} \)

Таким образом в $$ x_2^+$$ находится аттрактор к которому будут стремится траектории системы. Следовательно вторая траектория невозможна.

Рассмотрим 3-ую траекторию

Докажем, что такой вид траектории также невозможен.
Пусть $$ \dot{\psi}_2 > 0$$ из уравнения :

\( \dot{\psi}_2 = - \psi_1^0 + \psi_2 u_1^{min} \)

Такое возможно при:

\( \psi_1^0 < \psi_2u_1^{min} \)

Поскольку $$\psi_2$$ возрастает по нашему предположению, тогда наше условие будет выполнено всегда, если:

\( \psi_1^0 < \psi_2^0u_1^{min} \)

Следовательно $$ x_2$$ и $$\psi_2$$ бесконечно возврастает. Следовательно $$x_2(T) = \varepsilon$$ не выполняется.
Противоречье.

Рассмотрим 3-ую траекторию

Таким образом имеет смысл рассматриваем пары $$(\psi_1^0,\psi_2^0)$$ и $$\exists \tau \quad \psi_2(\tau) = 1 $$, то есть имеет место переключение