Достаточные условия существования оптимального управления

Случаи, когда решения не существует

Пример 1

\begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = 0 \\ x(0) = 0\\ x(1) = 1 \end{cases} \end{gather*}

Пример 2

$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$

\begin{gather*} \begin{cases} \dot{x} = u, & u \in \R \\ x(0) = 1\\ x(1) = 0 \end{cases} \end{gather*} \begin{gather*} J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf \end{gather*}

Перейдём к расширенной системе:

\begin{equation*} \begin{cases} \dot{x_0} = x_1^2 \\ \dot{x_1} = u \end{cases} \end{equation*}

\begin{gather*} \mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u, \end{gather*} \begin{gather*} \begin{cases} \dot{\psi}_0 = 0, \\ \dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1 \end{cases} \end{gather*}

В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$: \begin{gather*} u_k(t) = \begin{cases} -k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right]\\ 0, &\; \text{иначе} \end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} x_k(t) = \begin{cases} 1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right]\\ 0,\; \text{иначе} \end{cases} \end{gather*}

Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0$$

\begin{gather*} J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0 \end{gather*}

Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.

Теорема о существовании оптимального управления

Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в итоговых условиях на функцию $$f$$ \begin{gather*} \varphi_0(e) \rightarrow \infty\\ \varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0 \end{gather*} Пусть также:

1. Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$
2. $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$
3. $$\mathcal{F}(t,\ x) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{f(t,\ x,\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^n$$, $$F(t,\ x) -$$ множество возможных скоростей (векторграмма)
4. $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\} -$$ компакт, $$\overline{\varphi} \in C(E)$$

Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^* -$$ измеримое).

Замечание: Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^n$$

Доказательство:

Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E - $$ компакт. По определению инфимума: \begin{gather*} \forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}) \end{gather*}

План доказательства:

• Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.
• Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.

Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E -$$ компакт).

1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$

Откуда $$\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|$$

$$\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds$$

$$\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}$$

Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.

Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$

Тогда по теореме Арцела-Асколи $$x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot)$$, т.е. $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$

$$\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,$$ получаем $$x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip}$$ $$\Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$

2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d x^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, x^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{f(t,\ x,\ u)\}$$.

Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d x^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^n$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.: \begin{gather*} \forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P}\\ |t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta\\ \|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon \end{gather*} Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$ \begin{gather*} |\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta \end{gather*} \begin{gather} \Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon \label{ex1} \end{gather}

\begin{gather*} \forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f \end{gather*}

\begin{gather*} \mathcal{F}(\tau,\ x) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ f(\tau,\ x,\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ f(t,\ x^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t}\\ \|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\| \end{gather*}

Рассмотрим неравенство: \begin{gather*} \|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\| \end{gather*}

Выберем $$\tau$$: \begin{gather*} \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4}\\ \exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4}\\ |\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\} \end{gather*}

Тогда из \eqref{ex1} получаем: \begin{gather} \mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2} \end{gather}

Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено: \begin{gather*} \frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \end{gather*}

Значит: \begin{gather*} \frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty}\\ \frac{d x^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0}\\ \frac{d x^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, x^*(t)) \end{gather*}

Таким образом, $$\frac{dx^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} f(t, x^*(t), u^*(t))$$

Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon f(t, x^*(t), u) = \frac{dx^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$.

$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{dx^*(t)}{dt} -$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{dx^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$

Рассмотрим \begin{gather*} t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \bar{t} \end{gather*} \begin{gather*} u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \bar{u} \in \mathcal{P}\\ \frac{dx^*(t_k)}{dt} = f(t_k, x^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} f(\bar{t}, x^*(\bar{t}, \bar{u}))\\ \frac{dx^*(t_k)}{dt} \to \frac{dx^*(\bar{t})}{dt} \end{gather*} Следовательно, $$\bar{u} \in \mathcal{P}^*(\bar{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$. $$\blacksquare$$