Геометрическая разность двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки
В этой статье будут рассмотрены геометрическая разность двух эллипсоидов и ее внутренние и внешние оценки.
Определение
Разностью двух эллипсоидов будем называть $$\varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}$$ \begin{gather*} \rho (l | \varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}) = conv( \rho(l | \varepsilon_{1}) - \rho (l | \varepsilon_{2} )) \end{gather*}
Внутренние эллипсоидальные оценки
Будем оценивать разность эллипсоидами.
\begin{gather*}
\varepsilon_{1} = \varepsilon (0, Q_{1}); \\
\varepsilon_{2} = \varepsilon (0, Q_{2}); \\
\varepsilon_{-} \displaystyle = \varepsilon (0, Q_{-}), \, где \, Q_{-} = (p_{1} - p_{1}) ( \frac{Q_{1}}{p_{1}} - \frac{Q_{2}}{p_{2}} );
\end{gather*}
Оценим опорной функцией:
\begin{gather*}
\rho^{2} ( l | \varepsilon_{-} ) \displaystyle = \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - \frac{p_{2}}{p_{1}} \langle l, Q_{1}l \rangle - \frac{p_{1}}{p_{2}} \langle l, Q_{2}l \rangle \leq \\
\displaystyle \leq \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - 2 \sqrt{ \frac{p_{2}}{p_{1}} \langle l, Q_{1}l \rangle \frac{p_{1}}{p_{2}} \langle l, Q_{2}l \rangle } = \\
= \displaystyle \langle l, Q_{1}l \rangle - 2 \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5} \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5} = \\
\displaystyle = [ \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ]^{2}
\end{gather*}
равенство достигается при
\begin{gather*}
p_{1} = \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5}; \\
p_{2} = \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5}.
\end{gather*}.
Необходимо, чтобы $$Q_{-} \geqslant 0 $$. Это достигается при
\begin{gather*}
\begin{cases}
\rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) \geqslant 0,
( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) = conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ).
\end{cases}
\end{gather*}
При этом если известно, что $$Q_{-} \geqslant 0 $$, то
\begin{gather*}
\rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ).
\end{gather*}
Из этого получаем, что $$ \rho ( l | \varepsilon_{1} \dot{-} \varepsilon_{2} ) $$ - максимальная выпуклая функция, не превосходящая $$ conv ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) $$.
Применим овыпукление к предыдущему неравенству:
I способ
\begin{gather*}
conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \\
conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \Rightarrow \\
\text{ \{ так как} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \text{выпуклая функция \} } \Rightarrow \\
\rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) )
\end{gather*}
II способ
\begin{gather*}
\rho ( l | \varepsilon_{-} ) - \text{выпуклая функция} \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) \\
\text{Выбираем эллипсоид} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) = \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ), \\
\text{но тогда обязательно возникнет точка, которая вылезет за границу множества}
\end{gather*}
но тогда обязательно возникнет точка, которая вылезет за границу множества - такого не может быть, так как в этом случае
