Системы множеств

Аннотация

В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

Операции над множествами

Определение 1

Объединением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется объединением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\cup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]

Определение 2

Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется пересечением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $$C=\cap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$\Lambda_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами: 1) коммутативность \[A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;\] 2) ассоциативность \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):\] 3) дистрибутивность \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

Определение 3

Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$.

Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$.