Логистическое уравнение и его свойства

Определения

Пусть $$ N(t) $$ - численность изолированной популяции в момент времени $$ t $$. Скорость её изменения может быть представлена в следующем виде

\[ \dot N = \text{рождаемость} - \text{смертность} + \text{миграция} . \]

Вид различных членов в правой части этого уравнения зависит от конкретных условий существования популяций и присущих ей свойств. В простейшем случае предполагается отсутствие миграции, а члены рождаемости и смертности пропорциональны общей численности популяции $$ N$$:

\[ \dot N = bN - cN, \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \dot N = aN, \ a = b - c .\]

Логистическое уравнение можно записать в виде

\[ \dot N = rN \left( 1 - \dfrac{N}{k} \right) . \]