Сильная и слабая сходимость

Сильная сходимость

В математическом анализе изучается сходимость последовательности чисел: говорят, что числовая последовательность $$\{x_{n}\}$$ сходится к числу $$x \in \mathbb R$$, если $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} : \forall \, n \geq N(\varepsilon) \Rightarrow |x_n - x| < \varepsilon.$$ Модуль разности двух чисел \( | \cdot | \) используется, чтобы описать «расстояние» между ними. В функциональном анализе вводится общее понятие расстояния между объектами (это расстояние называется метрикой) и рассматриваются метрические пространства \((X, d)\), где $$X$$ есть произвольное множество объектов, а $$d: X \times X \to [0, +\infty)$$ – метрика. В частном случае, когда $$X$$ является линейным пространством и на нем введена норма $$||\cdot||$$, можно задать (породить) метрику на $$X$$ соотношением \begin{equation} \label{indmetric} d(x_{1}, x_{2}) := ||x_{1} - x_{2}|| \quad \forall x_{1}, x_{2} \in X. \end{equation}

Таким образом, понятие сходимости числовых последовательностей, определенное в математическом анализе, можно обобщить на случай последовательностей точек произвольных нормированных пространств, и такая сходимость (по метрике, порожденной нормой по формуле \eqref{indmetric}) в нормированном пространстве называется сильной сходимостью.

Итак, в нормированном пространстве \( (X, ||\cdot||) \) последовательность \( \{x_n\} \) сильно сходится к элементу \( x \in X \), если \[ \lim_{n \to \infty} \|x_n - x\| = 0. \] Обозначение: $$x_{n} \to x$$.

Слабая сходимость

Для определения слабой сходимости введем сперва понятие топологии.

Пусть $$X$$ – некоторое непустое множество, которое будем называть пространством-носителем. Топологией в $$X$$ называется любая система его подмножеств $$\tau \subset 2 ^ {X}$$ такая, что

1. $$\emptyset, X \in \tau$$;
2. Если $$J$$ – некоторое (необязательно конечное) индексное множество и для любого $$\alpha \in J$$ верно, что $$G_{\alpha} \in \tau$$, то верно $$\displaystyle \cup_{\alpha \in J} G_{\alpha} \in \tau$$;
3. Если $$G_{1}, \ldots, G_{k} \in \tau$$, то $$\displaystyle \cap_{i = 1} ^ {k} G_{i} \in \tau$$.

Таким образом, система $$\tau$$ содержит хотя бы два элемента (пустое множество и все пространство-носитель) и замкнута относительно произвольных объединений и конечных пересечений своих элементов. Отметим, что в отличие от $$\sigma$$-алгебры, топология вообще говоря не замкнута относительно операции взятия дополнения: если $$G \in \tau$$, то необязательно $$X \setminus G \in \tau$$. Поэтому $$\tau$$ может не быть замкнута относительно бесконечного пересечения своих элементов.

Множества $$G \in \tau$$ называются открытыми множествами.

Пара $$(X, \tau)$$ называется топологическим пространством.

Рассмотрим два «экстремальных» случая. Если топология $$\tau = \{\emptyset, X\}$$, то она содержится (в смысле множеств) в любой другой топологии в $$X$$ и называется антидискретной топологией. Если же $$\tau = 2 ^ {X}$$, то есть $$\tau$$ состоит из всех возможных подмножеств $$X$$, то она содержит любую другую топологию в $$X$$ и называется соответственно дискретной топологией.

Если $$\tau_{1}$$ и $$\tau_{2}$$ это две топологии в общем пространстве-носителе $$X$$, причем $$\tau_{1} \subset \tau_{2}$$, то говорят, что топология $$\tau_{1}$$ слабее топологии $$\tau_{2}$$, а топология $$\tau_{2}$$ сильнее, чем топология $$\tau_{1}$$. Следовательно, дискретная топология является сильнейшей среди всех топологий на носителе $$X$$, а антидискретная – слабейшей.

Пусть $$(X, \tau)$$ это топологическое пространство. Тогда окрестностью точки $$x \in X$$ (в топологии $$\tau$$) называется любое множество $$V \subset X$$ такое, что существует $$U \in \tau: x \in V \subset U$$.

Сходимость в топологических пространствах можно определить просто и естественно. Последовательность $$\{x_{n}\}$$ точек топологического пространства $$(X, \tau)$$ сходится к точке $$x_{0} \in X$$, если любая окрестность точки $$x_{0}$$ содержит все элементы этой последовательности начиная с некоторого. То есть \begin{gather*} \forall G \subset X \, (\exists U \in \tau: G \subset U, \, G \ni x_{0}) \Rightarrow (\exists N: \forall n \geqslant N \Rightarrow x_{n} \in G). \end{gather*}

Введем определение слабой топологии. Пусть $$X$$ – линейное топологическое (то есть линейное и одновременно топологическое) пространство. Например, $X$ это банахово пространство с топологией, порожденной нормой в $X$ (такую топологию назовем исходной). Рассмотрим совокупность $$\Omega$$ непрерывных функционалов на $$X$$. Пусть $$f_{1}, \ldots, f_{n} \in \Omega$$ – конечный набор таких функционалов, а число $$\varepsilon > 0$$. Тогда множество \begin{equation} \label{neighb} \{x: |f_{i}(x)| < \varepsilon, \, i \in \overline{1,n}\} \end{equation} открыто в $$X$$ и содержит точку 0, то есть является некоторой окрестностью нуля. Пересечение двух окрестностей вида \eqref{neighb} является окрестностью вида \eqref{neighb}. Действительно, \begin{gather*} \{x: |f_{i}(x)| < \varepsilon_{1}, \, i \in \overline{1,n}\} \cap \{x: |g_{j}(x)| < \varepsilon_{2}, \, j \in \overline{1,m}\} = \{x: |h_{k}(x)| < \varepsilon, \, k \in \overline{1,n + m}\}, \end{gather*} где $$\varepsilon = \max \{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\}$$ и $$h_{1} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{1}} f_{1}, \ldots, h_{n} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{1}} f_{n}, \, h_{n + 1} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{2}} g_{1}, \ldots, h_{n + m} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{2}} g_{m}$$ (очевидно, $$h_{k} \in \Omega \quad \forall k \in \overline{1, n + m}$$). Следовательно, в $$X$$ можно ввести топологию, для которой совокупность множеств вида \eqref{neighb} будет определяющей системой окрестностей нуля. Эта система и называется слабой топологией пространства $$X$$. Говоря иначе, слабая топология $$X$$ это слабейшая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии пространства $$X$$. А сходимость в $$X$$, определяемая слабой топологией, называется слабой сходимостью.

Введем теперь понятие пространства, сопряженного к линейному топологическому пространству. Пусть $$E$$ – это линейное топологическое пространство. Рассмотрим множество линейных непрерывных функционалов, определенных на $$E$$. Заметим, что если $$f_{1}, f_{2}$$ – два таких функционала, то функционал $$f = \alpha f_{1} + \beta f_{2}$$ также линеен и непрерывен ($$\alpha, \beta \in \mathbb R$$). Следовательно, это множество (обозначим его $$E^{*}$$) является линейным пространством над $$\mathbb R$$. Его и будем называть пространством, сопряженным к $$E$$.

Действие линейного функционала $$f \in E ^ {*}$$ на элемент $$x \in E$$ будем обозначать так: $$(f, x) := f(x)$$.

Пусть $$X$$ – линейное нормированное пространство. Последовательность $$\{x_{n}\} \subset X$$ слабо сходится к элементу $$x \in X$$, если для любого непрерывного линейного функционала $$\varphi: X \to \mathbb R$$ верно, что \begin{gather*} \varphi(x_{n}) \to \varphi(x) \end{gather*} при $$n \to \infty$$. Обозначение: $$x_{n} \xrightarrow{w} x$$.

Теоремы о слабой сходимости

Теорема 1. Слабый предел последовательности в нормированном пространстве всегда единственен.

Доказательство. Пусть $$X = (X, ||\cdot||)$$ – нормированное пространство и последовательность $$\{x_{n}\} \subset X$$ такова, что $$x_{n} \xrightarrow{w} \bar{x}, \, x_{n} \xrightarrow{w} \bar{\bar{x}}$$. Возьмем произвольный $$f \in X ^ {*}$$, тогда \begin{gather*} f(x_{n}) \to f(\bar{x}), \, f(x_{n}) \to f(\bar{\bar{x}}), \end{gather*} и в силу единственности сильного предела $$f(\bar{x}) = f(\bar{\bar{x}})$$, откуда $$f(\bar{x}) - f(\bar{\bar{x}}) = f(\bar{x} - \bar{\bar{x}}) = 0$$. В силу произвольности выбора $$f$$ мы получаем $$\bar{x} = \bar{\bar{x}}$$. $$~~\blacksquare$$

Теорема 2. Пусть $$X = (X, ||\cdot||)$$ – нормированное пространство и $$\{x_{n}\} \subset X$$ – слабо сходящаяся последовательность его точек. Тогда \begin{gather*} \exists M > 0: ||x_{n}|| \leqslant M \quad \forall n \geqslant 1. \end{gather*} То есть слабо сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Рассмотрим в сопряженном пространстве $$X ^ {*}$$ множества \begin{gather*} A_{kn} = \{f \in X ^ {*}: |(f, x_{n})| \leqslant k\}, \quad k, n = 1,2, \ldots. \end{gather*} Эти множества замкнуты в силу непрерывности $$(f, x_{n})$$ как функции от $$f$$ при фиксированном $$x_{n}$$. Следовательно, замкнуты и их пересечения $$A_{k} = \displaystyle \cap_{n = 1} ^ {\infty} A_{kn}$$. В силу слабой сходимости $$\{x_{n}\}$$ последовательность $$\{(f, x_{n})\}$$ ограничена для любого функционала $$f \in X ^ {*}$$, а потому справедливо представление \begin{gather*} E ^ {*} = \cup_{k = 1} ^ {\infty} A_{k}. \end{gather*} Так как пространство $$X ^ {*}$$ полно, то по теореме Бэра по крайней мере одно из множеств $$A_{k}$$ (пусть $$A_{k_{0}}$$) должно быть полно в некотором шаре $$B(f_{0}, \varepsilon)$$, а так как $$A_{k_{0}}$$ замкнуто, то получаем $$B(f_{0}, \varepsilon) \subset A_{k_{0}}$$. Значит, последовательность $$\{x_{n}\}$$ ограничена на шаре $$B(f_{0}, \varepsilon)$$, а следовательно, ограничена на любом шаре в $$X ^ {*}$$, в частности на единичном. То есть последовательность $$\{x_{n}\}$$ ограничена как последовательность элементов из $$X ^ {**}$$. В силу того, что вложение $$X \subset X ^ {**}$$ изометрично, получаем ограниченность $$\{x_{n}\}$$ в $$X$$. $$~~\blacksquare$$

Теорема 3. Пусть $$X = (X, ||\cdot||)$$ – нормированное пространство и $$\{x_{n}\}$$ – последовательность его элементов. Тогда если выполнены условия

1. $$\exists M > 0: ||x_{n}|| \leqslant M \quad \forall n \geqslant 1$$;
2. $$f(x_{n}) \to f(x)$$ для всякого $$f \in \Delta$$, где $$\Delta \subset X ^ {*}$$ – такое множество функционалов, что его линейная оболочка всюду плотна в $$X ^ {*}$$,

то последовательность $$\{x_{n}\}$$ слабо сходится к элементу $$x \in E$$.

Доказательство. Из условия 2 и определения действия над линейными функционалами следует, что если $$\varphi$$ есть линейная комбинация элементов $$\Delta$$, то $$\varphi(x_{n}) \to \varphi(x)$$. Пусть теперь функционал $$\varphi \in X ^ {*}$$ произвольный, а $$\{\varphi_{k}\}$$ – сходящаяся к $$\varphi$$ последовательность линейных комбинаций элементов из $$\Delta$$. Покажем, что $$\varphi(x_{n}) \to \varphi(x)$$. Пусть константа $$M$$ такова, что \begin{gather*} ||x_{n}|| \leqslant M \quad \forall n \geqslant 1, \, ||x|| \leqslant M. \end{gather*} Оценим разность $$|\varphi(x_{n}) - \varphi(x)|$$. Так как $$\varphi_{n} \to \varphi$$, то для любого $$\varepsilon > 0$$ существует номер $$K: ||\varphi - \varphi_{k}|| < \varepsilon \quad \forall k \geqslant K$$. Поэтому \begin{gather*} |\varphi(x_{n}) - \varphi(x)| \leqslant |\varphi(x_{n}) - \varphi_{k}(x_{n})| + |\varphi_{k}(x_{n}) - \varphi_{k}(x)| + \\ + |\varphi_{k}(x) - \varphi(x)| \leqslant \varepsilon M + \varepsilon M + |\varphi_{k}(x_{n}) - \varphi_{k}(x)|. \end{gather*} Но по условию $$\varphi_{k}(x_{n}) \to \varphi_{k}(x)$$ при $$n \to \infty$$. А значит, $$\varphi(x_{n}) \to \varphi(x)$$ для любого $$\varphi \in X ^ {*}$$. $$~~\blacksquare$$

Связь сильной и слабой сходимостей

Теорема 4. В нормированном пространстве $$(X, ||\cdot||)$$ последовательность \( \{x_n\} \), сильно сходящаяся к \( x \), слабо сходится к \( x \).

Доказательство. Для любого $$f \in X ^ {*}$$ \[ |f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \leq \|f\| \cdot \|x_n - x\|, \quad \forall f \in X^*. \] Таким образом, факт сильной сходимости $$||x_{n} - x|| \to 0$$ влечет $$x_{n} \xrightarrow{w} x$$. $$~~\blacksquare$$

Из слабой сходимости может не следовать сильная сходимость, о чем свидетельствует

Пример 1. \( H \) — гильбертово пространство со счетным ортонормированным базисом \( \{e_k\} \) (например, $$H=l_2$$ с базисом \( e_k = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots), \, k \geqslant 1 \), где на \( k \)-й позиции стоит 1, а остальные элементы равны 0). Как известно, в силу теоремы Рисса гильбертово пространство является самосопряженным: $$H = H ^{*}$$. Для любого вектора \( x \in H \) в силу неравенства Бесселя \begin{gather*} \sum_{k = 1} ^ {\infty} | ( x, e_{k} ) | ^ {2} \leqslant |x| ^ {2} \end{gather*} имеем сходимость \[ ( x, e_{k} ) \to 0 \] при $$k \to \infty$$. (Здесь запись $$(x, e_{k})$$ означает скалярное произведение векторов $$x$$ и $$e_{k}$$ в пространстве $$H$$). Таким образом, \( e_{k} \xrightarrow{w} 0 \). Но сильной сходимости нет, поскольку в силу ортонормированности базиса $$|e_{k}| = 1 \quad \forall k \geqslant 1$$ и $$|e_{k}| \not \to 0$$.

Теорема 5. Пусть в гильбертовом пространстве $$(X, ||\cdot||)$$ последовательность $$x_n\ \xrightarrow{w} x_{0}$$. Тогда $$x_n \to x_0$$ тогда и только тогда, когда $$\|x_n\| \to \|x_0\|$$.

(Эта теорема также может быть обобщена на случай, когда $$X$$ – равномерно выпуклое нормированное линейное пространство.)

Теорема 6 (Mazur). Пусть $$X$$ – линейное нормированное пространство, в котором последовательность \( x_n \xrightarrow{w} x_0 \in X \). Тогда существует последовательность \(\{v_n\}\), составленная из выпуклых комбинаций элементов \( \{x_n\} \) и такая, что \( v_{n} \to x_{0}\).

Теорема 7. Пусть $$X, Y$$ – нормированные пространства и \( A \in L(X \to Y) \). Тогда если последовательность \( x_n \xrightarrow{w} x_0 \), то $$A x_n \xrightarrow{w} A x_0$$.

Доказательство. Имеем \begin{gather*} \forall f \in Y^* \quad f(\mathcal{A}(x_n)) - f(\mathcal{A}(x_0)) = f(\mathcal{A}(x_n) - \mathcal{A}(x_0)) = \\ = (f, \mathcal A (x_{n} - x_{0})) = (\mathcal A ^ {*} f, x_{n} - x_{0}) = (\mathcal{A}^{*} f)(x_n - x_0) \to 0, \end{gather*} где \(\mathcal{A}^*: Y ^ {*} \to X ^ {*}\) – сопряжённый оператор. $$~~\blacksquare$$

Примеры

Пример 2. $$X = \mathbb R ^ {n}$$. Докажем, что в этом случае слабая сходимость совпадает с сильной. Поскольку сильная сходимость всегда влечет слабую, то покажем только, что в нашем примере верно и обратное. Действительно, пусть $$e_{1}, \ldots, e_{n}$$ – ортонормированный базис, а последовательность $$\{x_{n}\}$$ слабо сходится к элементу $$x \in X$$. Пусть \begin{gather*} x_{k} = x_{k} ^ {(1)} e_{1} + \ldots + x_{k} ^ {(n)} e_{n} \quad \forall k \geqslant 1, \\ x = x ^ {(1)} e_{1} + \ldots + x ^ {(n)} e_{n}. \end{gather*} Тогда \begin{gather*} x_{k} ^ {(1)} = (x_{k}, e_{1}) \to x ^ {(1)}, \\ \ldots \\ x_{k} ^ {(n)} = (x_{k}, e_{n}) \to x ^ {(n)}, \end{gather*} то есть выполнена покоординатная сходимость. Отсюда \begin{gather*} ||x_{k} - x|| = \Big( \sum_{i = 1} ^ {n} ( x_{k} ^ {(i)} - x ^ {(i)} ) ^ {2} \Big) ^ {\frac{1}{2}} \to 0, \end{gather*} что означает, что $$\{x_{n}\}$$ сильно сходится к $$x$$.

Пример 3. $$X = \ell_1$$. В пространстве \( \ell_1 \), согласно теореме Шура (Schur), слабая и сильная сходимости эквивалентны.

Пример 4. $$X = C[a, b]$$. В пространстве функций, непрерывных на отрезке $$[a, b]$$, слабая сходимость оказывается слабее, чем сильная. Наделим $$X$$ нормой $$||\cdot||$$, определенной так: $$||f|| = \max_{a \leqslant t \leqslant b} |f(t)|$$. Слабая сходимость $$f_{n} \xrightarrow{w} f$$ в $$X$$ равносильна выполнению двух условий:

1. $$f_{n}(t) \to f(t)$$ для любого $$t \in [a, b]$$ (поточечная сходимость);
2. $$\exists M > 0: ||f_{k}|| \leqslant M \quad \forall k \geqslant 1$$ (равномерная ограниченность).

Рассмотрим последовательность $$\{f_{n}\}$$, заданную так: \begin{gather*} f_{n}(t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2 n}{b - a} (t - a), \quad t \in \Big[a, \, a + \displaystyle \frac{b - a}{2 n} \Big), \\ 2 - \displaystyle \frac{2 n}{b - a} (t - a), \quad t \in \Big[a + \displaystyle \frac{b - a}{2 n}, \, a + \displaystyle \frac{b - a}{n} \Big), \\ 0, \quad t \in \Big[a + \displaystyle \frac{b - a}{n}, \, b \Big]. \end{cases} \end{gather*} Нетрудно видеть, что для любого $$n$$ норма $$||f_{n}|| = 1$$ (и значит, последовательность $$\{f_{n}\}$$ равномерно ограничена), при этом есть поточечная сходимость $$f_{n} \to f \equiv 0$$. Однако сильной (по норме) сходимости к функции $$f \equiv 0$$ нет.

Список литературы

1. Колмогоров A.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: Физматлит, 2004.

2. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

3. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2009.