Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.
Определение
Пусть имеется последовательность чисел $$ \{\,f_k\,\}_{k=0}^{N-1}$$.
Дискретным преобразованием Фурье такой последовательности называется:
\[
\{F_n\}_{n=0}^{N-1} : F_n = \sum\limits_{k=0}^{N-1}f_kW_N^{kn} \quad,\\
W_N = e^{\frac{-2\pi i}{N}}.
\]
Свойства
- Линейность:
\(\alpha \, f_k + \beta g_k \longleftrightarrow \alpha F_n + \beta G_n\) - Сдвиг:
\(f_{\scriptsize(k-m)mod \, N} \longleftrightarrow F_ne^{\frac{-2\pi i}{N}nm}\) - Формула обращения:
\(f_k = \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1}F_nW_N^{-kn}\) - Свёртка:
\(f_k * g_k = \sum\limits_{l=0}^{N-1}f_{(k-l)\scriptsize mod \, N}g_{\scriptsize l}\) - Формула Парсеваля:
\(\sum\limits_{k=0}^{N-1}f_k \overline g_k = \frac{1}{N}\sum\limits{n=0}^{N-1}F_n \overline G_n\)
Многомерный случай
- Прямое преобразование:
\(F_{n_1,...,n_m} = \sum\limits_{k_1=0}^{\small N_1 - 1}...\sum\limits_{k_m=0}^{\small N_m - 1}f_{k_1,...,k_m}W_{\small N_1}^{k_1 n_1}\cdot ... \cdot W_{\small N_m}^{k_m n_m} \, \\ W_{\small N_i} = e^{\frac{-2\pi i}{N_i}}, \quad {\small i = 1,...,m} \) ,
- Обратное преобразование:
\(f_{k_1,...,k_m} = \frac{1}{N_1...N_m}\sum\limits_{n_1=0}^{\small N_1 - 1}...\sum\limits_{n_m=0}^{\small N_m - 1}F_{n_1,...,n_m}W_{\small N_1}^{-k_1 n_1}\cdot ... \cdot W_{\small N_m}^{-k_m n_m} \, \\ W_{\small N_i} = e^{\frac{-2\pi i}{N_i}}, \quad {\small i = 1,...,m} \) ,
