Теория двойственности Фенхеля-Моро

Определения

Пусть $$X$$ — вещественное линейное пространство.
Через $$\overline{\mathbb{R}}$$ будем обозначать расширенную вещественную прямую, $$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty; +\infty \right\}$$.
Будем рассматривать функции $$f: X \to \overline{\mathbb{R}}$$.
С каждой такой функцией $$f$$ можно связать множества

$$\text{epi}$$ $$f = \left\{ \left( x,\alpha \right) \in X\times \mathbb{R} : f(x) \le \alpha\right\}$$,

$$\text{dom}$$ $$f = \left\{ x \in X : f(x) \lt +\infty \right\}$$,

называемые соответственно надграфиком функции $$f$$ и ее эффективным множеством.

Определение 1

Функция $$f$$ называется собственной, если $$\text{dom}$$ $$f \neq \emptyset$$ и $$f(x) \gt -\infty$$ $$\forall x$$.

Определение 2

Функция $$f$$ называется выпуклой, если ее надграфик $$\text{epi}$$ $$f$$ является выпуклым множеством.

Определение 3

Функция $$f$$ называется замкнутой, если ее надграфик $$\text{epi}$$ $$f$$ замкнут.

Далее предполагаем, что $$X$$ — гильбертово пространство.

Определение 4

Функцией, сопряженной к $$f$$, называется функция, определенная формулой $$f^*(x^*) = \underset{x \in X}{\text{sup}}\left( \left\langle x^*,x \right\rangle - f(x) \right)$$.

Список литературы

1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.