Матричный экспоненциал
Пусть $$A = (a_{ij})$$ - квадратная матрица порядка $$n$$.
Под матричной экспонентой понимается матричная функция:
\[
\begin{equation}
\label{row}
e^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^kt^k}{k!}.
\end{equation}
\]
Сходимость ряда $$(\ref{row})$$
Утверждение: Ряд $$(\ref{row})$$ сходится абсолютно и равномерно для любого конечного интервала $$t$$.
Доказательство:
$$A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n},\: A^k = (a_{ij}^{(k)}).$$
Рассмотрим: $$|a_{ij}^{(2)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}a_{lj}\| \leq \displaystyle\sum_{l=1}^n |a_{il}||a_{lj}| \leq c^2n,\texttt{ где } |a_{ij}| \leq c \texttt{ по всем } i,j. \\
|a_{ij}^{(3)}| = \|\displaystyle\sum_{l=1}^n a_{il}^{(2)}a_{lj}\| \leq c^3n^2. \\
\texttt{По индукции: } |a_{ij}^{(k)}| \leq c^kn^{k-1}. \\
\texttt{Все элементы матрицы } \frac{A^kt^k}{k!} \texttt{ мажорируются } \frac{c^kn^{k-1}t^k}{k!} = \frac1n\frac{(cnt)^k}{k!},\\ \texttt{а ряд } \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(cnt)^k}{nk!} \texttt{ сходится.} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow$$ По признаку Вейерштрасса утрверждение доказано.
Связь с фундаментальной матрицей
Так как $$\frac{d}{dt} e^{At} = Ae^{At} = e^{At}A,$$ то для $$e^{A(t-\tau)}$$ выполнено определение фундаментальной матрицы $$\Rightarrow$$ \[ X(t,\tau) = e^{A(t-\tau).} \]
Примеры нахождения
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\: A^2 = O \quad \Rightarrow \quad e^{At} = I + At =
\begin{pmatrix}
1 & t \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Другие примеры можно найти в статьях про приложения преобразования Лапласа и фундаментальную матрицу Коши.
