Системы множеств

Аннотация

В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

Операции над множествами

Определение. Объединением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется объединением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]

Определение. Пересечением множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется пересечением множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е. \[ x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha . \]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:

1) коммутативность: \[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ассоциативность: \[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) дистрибутивность: \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\ A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

Определение. Разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

Определение. Симметрической разностью множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

Ключевые инструменты

Определение. Непустая система множеств $$K$$ называется кольцом, если для любых $$A,\ B \in K$$: \[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида \[ C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k \]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Определение. Множество $$E$$ называется единицей системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство: \[ A \cap E=A. \]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Определение. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует. В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

Определение. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

Пример. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

Замечание. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

Определение. Кольцо $$K$$ называется $$\sigma$$-кольцом, если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

Определение. Кольцо $$K$$ называется $$\delta$$-кольцом, если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

Определение. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй, $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-алгеброй, $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-алгеброй.

Лемма № 1

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

Доказательство.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде \begin{equation*} A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\ =\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right), \end{equation*} где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Лемма № 2 (о конечном разложении)

Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

Доказательство.

Докажем это утверждения по индукции.

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*} A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right). \end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*} A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\ =\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) . \end{equation*} Лемма доказана.

Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

Доказательство. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. Теорема доказана.

Примеры

1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

Борелевские множества

Введем понятие канторова множества. Из отрезка $$[0,1]$$ удалим интервал $$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$$, из оставшегося множества – интервалы $$(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$$ и $$(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$$, и т.д. В итоге получится множество, не содержащее ни одного интервала. Оно замкнуто, так как его дополнение открыто, имеет меру нуль, так как дополнение к нему имеет меру единица: $$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \dots = 1$$, и имеет мощность континуума, так как входящие в него числа в троичной системе – это всевозможные бесконечные дроби, состоящие из нулей и двоек.

Определение. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой – континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

Утверждение. Борелевская мера неполна.

Доказательство. Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. По определению оно получается путем удаления счетного числа интервалов из отрезка, поэтому канторово множество является борелевским. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

Теорема. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

Доказательство. Пусть $$A$$ — измеримое по Лебегу множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. Теорема доказана

Теорема Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

Доказательство. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

Определение. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, порожденная топологией. Под топологией понимаем введение класса открытых множеств.

Замечание 1. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Замечание 2. Легко видеть, что пересечение произвольного числа $$\sigma$$-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Список литературы

1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.