Пространства Соболева

Определение

Рассмотрим класс непрерывно дифференцируемых функций, заданных на [0,1]. Определим скалярное произведение \[ \left< u, v \right> = \int\limits_0^1 u(t) v(t) dt + \int\limits_0^1 u^{\prime}(t) v^{\prime} (t) dt . \]

Данное скалярное произведение порождает норму \[ \left\lVert u \right\rVert^2 = \int\limits_0^1 u^2(t) dt + \int\limits_0^1 (u^{\prime} (t))^2 dt . \]

Данное пространство не является полным. Пополним пространство по этой норме, то есть добавим к пространству все предельные элементы.

Определение. Пусть $$M$$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $$R^*$$ называется пополнением пространства $$R$$, если

• $$R$$ является подпространством пространства $$R^*$$
• $$R$$ всюду плотно в $$R^*$$

Пример: $$\mathbb{R}$$ является пополнением $$\mathbb{Q}$$.

Теорема. Каждое метрическое пространство имеет пополнение

Доказательство теоремы можно найти в [2].

Определение. Пространство, полученное в результате пополнения пространства непрерывно дифференцируемых функций по указанной норме, называется соболевским пространством. Обозначение. $$W_2^1 (0,1)$$. Аналогично можно ввести пространства $$W_p^k(a,b)$$ - в их основе лежит класс $$k$$ раз непрерывно дифференцируемых функций и норма берется \[ \left\lVert u \right\rVert = \left( \sum\limits_{i=0}^k \int\limits_a^b (u^{(i)} (t))^p dt \right)^{\frac{1}{p}} . \]

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976г.