Пространства Соболева
Определение
Рассмотрим класс непрерывно дифференцируемых функций, заданных на [0,1]. Определим скалярное произведение \[ \left< u, v \right> = \int\limits_0^1 u(t) v(t) dt + \int\limits_0^1 u^{\prime}(t) v^{\prime} (t) dt . \]
Данное скалярное произведение порождает норму \[ \left\lVert u \right\rVert^2 = \int\limits_0^1 u^2(t) dt + \int\limits_0^1 (u^{\prime} (t))^2 dt . \]
Данное пространство не является полным. Пополним пространство по этой норме, то есть добавим к пространству все предельные элементы.
Определение. Пусть $$M$$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $$R^*$$ называется пополнением пространства $$R$$, если
- $$R$$ является подпространством пространства $$R^*$$
- $$R$$ всюду плотно в $$R^*$$
Пример: $$\mathbb{R}$$ является пополнением $$\mathbb{Q}$$.
Теорема. Каждое метрическое пространство имеет пополнение
Доказательство теоремы можно найти в [2].
Определение. Пространство, полученное в результате пополнения пространства непрерывно дифференцируемых функций по указанной норме, называется соболевским пространством. Обозначение. $$W_2^1 (0,1)$$. Аналогично можно ввести пространства $$W_p^k(a,b)$$ - в их основе лежит класс $$k$$ раз непрерывно дифференцируемых функций и норма берется \[ \left\lVert u \right\rVert = \left( \sum\limits_{i=0}^k \int\limits_a^b (u^{(i)} (t))^p dt \right)^{\frac{1}{p}} . \]
Теорема (о вложении). Пусть $u \in W_2^1 (0,1)$. Тогда существует непрерывная на $[0, 1]$ функция $\tilde{u}$, такая что $\tilde{u} = u$ почти всюду и \max_{t \in [0, 1]} |\tilde{u}| \leq C \| u \|_{W_2^1 (0,1)}. Доказательство Пусть ${u_n} \in C^1(0, 1)$ --- фундаментальная последовательность в $W_2^1 (0,1)$.
1. Сперва докажем, что ${u_n(0)}$ --- фундаментальная числовая последовательность. $$ u_n(t) = u_n(0) + \int\limits_0^t u_n'(\tau) \mathrm{d}\tau,$$ $$ u_n(0) - u_m(0) = u_n(t) - u_m(t) - \int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_n'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau.$$
Воспользовавшись неравенством $(a+b)^2 \ leq 2a^2 + 2b^2$, получим:
$$ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 = 2 [u_n(t) - u_m(t)]^2 + 2[\int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_n'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau]^2.$$
Список литературы
1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.
2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976г.
