Гильбертово пространство

Определение

Определение 1. Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым. Обозначается как $$H$$.

Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.

Связь нормы и скалярного произведения

В Гильбертовом пространстве, как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением. В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.

В гильбертовом пространстве норма связана со скалярным произведением следующим образом: $$ ||x||=\sqrt{(x,x)} $$

Из аксиом скалярного произведения вытекает Неравенство Коши-Буняковкого

$$ |(x,y)|\leq ||x|||y|| $$(для любых x и y \in H)