Самосопряжённый линейный оператор

Определение самосопряжённого оператора

Пусть $$H$$ - гильбертово комплексное пространство (вещественный случай сводится к рассматриваемому посредством комплексификации).

Определение 1. Оператор $$A \in \mathcal{L}(H)$$ называется самосопряжённым (или эрмитовым), если $$A^* = A$$, т. е. если $$A$$ совпадает со своим сопряжённым.

Согласно этому определению $$A$$ - самосопряженный, если для любых $$x, y \in H$$ \begin{align*} (Ax, y) = (x, Ay) \end{align*}

Свойства самосопряжённого оператора

Теорема 1.

Пусть $$A$$ и $$B$$ - самосопряженные операторы в $$H$$, а $$\alpha$$ и $$\beta$$ - вещественные числа; тогда $$\alpha A + \beta B$$ - самосопряжённый оператор в $$H$$.

Доказательство.

Пользуясь определением оператора $$\alpha A + \beta B$$, линейностью скалярного произведения и самосопряжённостью $$A$$ и $$B$$, получаем

\begin{align*} ((\alpha A + \beta B)x, y) = (\alpha A x + \beta Bx, y) = \alpha (Ax, y) + \beta (Bx, y) = \end{align*} \begin{align*} = \alpha (x, Ay) + \beta (x, By) = (x, \alpha A y + \beta B y) = (x, (\alpha A + \beta B)y) \end{align*} Теорема доказана. $$\square$$

Теорема 2.

Пусть операторы $$A$$ и $$B$$ — самосопряжённые. Оператор $$AB$$ является самосопряжённым в том и только в том случае, когда $$A$$ и $$B$$ перестановочны.

Доказательство.

Доказательство вытекает из равенства \begin{align*} (ABx, y) = (Bx, Ay) = (x, BAy). \end{align*} $$\square$$

Теорема 3.

Если $$A$$ самосопряжён, то число $$(Ax, x)$$ вещественно для любых $$x \in H$$.

Доказательство.

\begin{align*} (A x, x) = (x, A x) = \overline{(A x, x)}. \end{align*} Комплексное число $$(A x, x)$$ совпадает со своим комплексно сопряжённым и, значит, вещественно. $$\square$$