Интегральные уравнения Фредгольма

Определение и классификация

Определение. Интегральное уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма.

Определение. Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов \(K(x,\;y)\), определяющая некий интегральный оператор \(\mathcal{A}\) равенством\[\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),\] где \(x\in\mathbb{X}\) — пространство с мерой \(d\mu(x)\), а \(\varphi(x)\) принадлежит некоторому пространству функций, определённых на \(\mathbb{X}\).

Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа (каждый из типов может быть однородным (\(f(x) \equiv 0 \)) или неоднородным ((\(f(x) \notequiv 0 \)))):

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

\[f(x)=\int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi(s)\,ds\]

Задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра \(K(x, s)\) и функции \( f(x)\) найти функцию \(\varphi(s)\).

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\] где \(\lambda\) - числовой параметр.

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро \(K(t, s)\) и функцию \(f(x)\), найти функцию \(\varphi(x)\). При этом существование решения и его множественность зависит от числа \(\lambda \), называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным).