Решения ОДУ в смысле Каратеодори

В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой пук пук пук

Рассмотрим систему ДУ\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$

Условия Каратеодори

Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:

1. Пусть \(g(t,x)\) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \(\forall t \in [t_0-a,t_0+a];\)
2. \(g(t,x)\) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \in B_r(x_0)\), \(g(t,x)\) непрерывна по \(x\) для почти всех \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
3. \(\exists m(\cdot) -- \) интегрируема по Лебегу при \(t \in t[t_0-a, t_0+a]\) такая, что

\( ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; \)

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

Абсолютно непрерывные функции

Мы бы хотели найти решение задачи Коши \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t))\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation*} в следующем классе функций:

1. \( x(\cdot) \in C; \)
2. для почти всех \( \dot \forall t\) существует \( \exists \dot x \)
3. для почти всех \( \dot \forall t\) выолнено \( \dot x(t) = g(t, x(t))\).

Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример (тут будет картинка) \begin{equation*} X(\omega) = \begin{cases} \dot x(t) = 0\\ x(0) = 0, \end{cases} \end{equation*} Очевидно, что решение системы \( x \equiv \). Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях. Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на $x$\[ x(\cdot) -- /text{решение системы} \Leftrightarrow \] для всех $\forall t$ выполнено \(// x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau.\) Из курса функционального анализа известно, что если \( z(\cdot) -- \) измерима, то для любого \( \epsilon > 0\) существует \( \exists \delta(\epsilon) > 0: //\) \( \forall: \mu Z \geq \delta \Rightarrow \int_{\tau} z(\tau) \,d\tau \geq \epsilon \), что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 3') \( \dot x -- \) интегрируема по Лебегу; 4) Для всех \( \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. \) Введем важное определение Опр1(сделать красиво). Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. absolutely continuous. В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому ОПР1' Будем говорить, что \( x(\cdot) \in AC[\tau, \tau_1], \) если для любого \( \epsilon > 0 \) существует \( \delta(\epsilon) > 0: \forall \tau_1^', \dots, \tau_k^', \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''} <math> таких, что <math> \tau_0 \geq \tau_1^' \geq \tau_1^{''} \geq \dots \geq \tau_k^' \geq \tau_k^{''} \geq \tau_1 \) выполнено\[ // \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \geq epsilon \] Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $f(x) = |x|.$ Так же известно, что $// Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, tau_1], //$ поскольку $// ||x(\tau)-x(\tau') || \geq L |\tau-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.$ Данное вложение является строгим рассмотреть пример $x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$ С учетом этих определений сформулируем новое определение. ОПР3. Решением системы на $t_0-a \geq \tau_0 < \tau_1 \geq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$ по Каратеодори называется функция $x(\cdot),$ удовлетворяющая следующим критериям:

1. \( x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];\)
2. \(x(t_0) = x^{0} \)
3. для почти всех \( \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). \)

Существование решения по Каратеодори

Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. ТЕОРЕМА1(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть \( g(t,x) -- \) измерима по $t$ для всех \( \forall x \in B_r(x^0)\) и непрерывна по \(x\) для почти всех \( \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. Тогда <math> \forall \epsilon \Rightarroy \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- \) компакт, такой что \( \mu([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon \) и \(g(t,x) \) суженная на \( K\times B_r(x^0) \) непрерывна по \((t,x) \) ТЕОРЕМА2(Критерий измеримости Лузина). Функция \( z(t)--\) измерима на \( t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- \) компакт такой, что \( \mu([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon \) и \(z(t) \) суженная на \( K. Замечание3. Из теоремы Луиза следует, что для <math> g(t,x)\) существует \(K(x)\), а из Scorza Dragoni следует существования универсального \(K\)(на шаре). Следствие 1(Частный случай Scorza Dragoni) Если \( g(t,x)-- \) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \), непрерывна по \( x \) для почти всех \(\dot \forall t\),а \(x(\cdot)\) измерима, то функция \(g(t,x(t)) --\) измерима по \( t\) Доказательсво. Функция \(u(\cdot) -- \) измерима, следовательно, из критерия Лузина \(\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K \) компакт\[\mu([\tau_0,\tau_1] \setminusK) \leq \epsilon \] и \( u \) при сужении на \( K -- \) непрерывна. Тогда \( z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))\) непрерывна на \(K\), а значит, \( z(\cdot)-- \) измерима. Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения. ТЕОРЕМА3(Существование решения исходной системы). Пусть \( 0 < h \leq a \) и \( \int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r. \) Тогда существует \( \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]-- \) решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выпишем следующую последовательность функций\[ x^{(0)}(t) \equiv x^{0}, \] \( x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau. \) Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку \( g(\tau, x^{(k)}(\tau)) \) измеримы по \( \tau \) в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией \( m(t) \) (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом \( x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarroyx^{(k)}(\cdot) \in AC \). Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $t \geq t_0,$ для $t \leq t_0--$) аналогично)\[ ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.\] Покажем равностепенную непрерывность\[ \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta\] \( \forrall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?\) Для нашей последовательности \( ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon \) в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Тогда последовательность непрерывных функций \( x^{(k)}(\cdot) \) равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, \( x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). \) При этом \( || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, \) то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и \( x(\cdot) \in C.\) Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности\[ x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].\] Теорема доказана.

Единственность решения

Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по \( x \text{:} \)\[ || g(t,x^{''} - g(t,x^{'}))|| \leq L(t)||x^{''} - x^{'}|| \] Где \(L(t) -\) интегрируема по Лебегу.
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3):
\( 4) \ \ \forall x^{'}, x^{''} \ \ \exists L(t) - \) интегрируема по Лебегу\[ \langle g(t,x^{''}) - g(t,x^{'}), x^{''} - x^{'} \rangle \leq L(t)||x^{''} - x^{'} ||.\] Нетрудно показать что всякая липшицевая по \(x\) функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.
Теорема 4 (Теорема о единственности решения по Каратеодори).
Пусть выполнены условия Каратеодори 1),2),3) а так же 4). Тогда решение по Каратеодори задачи Коши (1) единственно.
Доказательтво:
Предположим противное. Пусть \(x^{'}(t)\) и \(x^{''}(t) - \) два различных решения (1) на \([t_{0}, t_{0} + h]\). Рассмотрим вспомогательную функцию\[z(t) = ||x^{''}(t) - x^{'}(t)||^{2} = \langle x^{''}(t) - x^{'}(t),x^{''}(t) - x^{'}(t) \rangle.\] Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. \(t\)\[ \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x^{''}),g(t,x^{'}),x^{''}(t) - x^{'}(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).\] При этом \(z(t_{0}) = 0 \ \ \)(из определения \( z\)). Тогда неравенство\[ \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0\] домножим на \( \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:\)\[ \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 \] для п.в. (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем\[ 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. \] Левое неравенство достигается в силу определения \(z\), а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит \(z(t_{0}) = 0.\) Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.

Продолжимость решения

В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции \(m(\cdot)\) значением \(r\). Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.
Мы рассматриваем систему на отрезке времени \( [t_{0} - a, t_{0} + a]. \) Зафиксируем \(h_{1} < a\) и проинтегрируем исходную систему на \( [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. \) При этом \(||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.\) Переобозначим полученное значение в точке \( \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) \) и запишем новую задачу Коши\[ \begin{cases} \dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\ x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1} \end{cases} \] Таким образом, мы продвинулись на \(h_{1}\) вправо по времени.
Далее аналогичным образом выберем \(h_{2},h_{3} \) и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую \( m(\cdot) \) и варьировать соответствующее ей значение \(r\), устремляя таким образом \(h \rightarrow a\) и \( h \rightarrow +\infty\). При этом \(r\) не будет ограничено, если \( h_{1} + h_{2} + \ldots < a. \)
Пример 1. \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\ x(t) = 1 \end{cases} \end{equation*} Проинтегрировав систему: \begin{equation*} \int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt \end{equation*} получим решение \( x(t) = \frac{1}{1 - t} \), неограниченно растущее в окрестности \(t = 1\).
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения: \begin{equation} \overset{-}{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение ЗК (1) при } t \in [t_{0}, \tau]\}, \end{equation} \begin{equation} \underset{-}{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение ЗК (1) при } t \in [\tau,t_{0}]\}. \end{equation} Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).
Теорема 5.
Пусть