Задача о тележке

Задача о тележке

Постановка задачи

Рассмотрим задачу движение тележки. В движение тележку приводит тяга двигателя \(F_{\textbf{вн}}\),ей будет препятствовать вязкое трение \(F_{\textbf{тр}}= -k \dot{x}\) и сопротивление среды \(F_{сопр}=-d\dot{x}^2\).
По второму закону Ньютона:

$$ m \ddot{x} = -k \dot{x} - d \dot{x}^2+F_{\textbf{вн}}$$ $$ \ddot{x} = - \dfrac{k}{m} \dot{x} - \dfrac{d}{m} \dot{x}^2+\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m}$$

Обозначая $$ \dfrac{k}{m} = u_1 \in [u_1^{min},u_1^{max}], \frac{d}{m} = u_2 \in [u_2^{min},u_2^{max}],\dfrac{F_{\textbf{вн}}}{m} = u_3 \in [0,u_3^{max}]$$, и приводя к нормальному виду

$$x_1 = x, x_2 = \dot{x} $$,

получим следующую систему:

$$ \begin{equation} \dot{x}_1 = x_2, \\ \dot{x}_2= -(u_1x_2+u_2x_2^2)+u^3\\ \quad u_1 \in [u_1^{min}, u_1^{max}],\quad 0<u_1^{min}<u_1^{max}\\ \quad u_2 \in [u_2^{min}, u_2^{max}],\quad 0<u_2^{min}<u_2^{max} \\ \quad u_3 \in [0,u_3^{max}],\quad 0 < u_3^{max} \end{equation} $$

Добавляем начальные условия:

$$ t_0 = 0, \\ x_1(0) = x_2(0) = 0,\\ t_1= T\\ x_1(T) = L\\ x_2(t) = \varepsilon $$