Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.

Определение

Пусть имеется последовательность чисел $$ \{\,f_k\,\}_{k=0}^{N-1}$$.
Дискретным преобразованием Фурье такой последовательности называется: \[ \{F_n\}_{n=0}^{N-1} : F_n = \sum\limits_{k=0}^{N-1}f_kW_N^{kn} \quad,\\ W_N = e^{\frac{-2\pi i}{N}}. \]

Свойства

1. Линейность:
   \(\alpha \, f_k + \beta g_k \longleftrightarrow \alpha F_n + \beta G_n\)
2. Сдвиг:
   \(f_{(k-m)mod \, N} \longleftrightarrow F_ne^{\scriptsize\frac{-2\pi i}{N}nm}\)
3. Симметрия:
   \(f_k \longleftrightarrow F_n \\ f_{(k-m)mod \, N} \longleftrightarrow F_n e^{\frac{-2\pi inm}{N}} \)
4. Формула обращения:
   \(f_k = \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1}F_nW_N^{-kn}\)
5. Свёртка:
   \(f_k * g_k = \sum\limits_{l=0}^{N-1}f_{(k-l)\scriptsize mod \, N}g_{\scriptsize l}\)
6. Формула Парсеваля:
   \(\sum\limits_{k=0}^{N-1}f_k \overline g_k = \frac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}F_n \overline G_n\)
7. Симметрия:

Многомерный случай

• Прямое преобразование:
  \(F_{n_1,...,n_m} = \sum\limits_{k_1=0}^{\small N_1 - 1}...\sum\limits_{k_m=0}^{\small N_m - 1}f_{k_1,...,k_m}W_{\small N_1}^{k_1 n_1}\cdot ... \cdot W_{\small N_m}^{k_m n_m} \, \\ W_{\small N_i} = e^{\frac{-2\pi i}{N_i}}, \quad {\small i = 1,...,m} \) ,

• Обратное преобразование:
  \(f_{k_1,...,k_m} = \frac{1}{N_1...N_m}\sum\limits_{n_1=0}^{\small N_1 - 1}...\sum\limits_{n_m=0}^{\small N_m - 1}F_{n_1,...,n_m}W_{\small N_1}^{-k_1 n_1}\cdot ... \cdot W_{\small N_m}^{-k_m n_m} \, \\ W_{\small N_i} = e^{\frac{-2\pi i}{N_i}}, \quad {\small i = 1,...,m} \) ,

Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм ускоренного вычисления дискретного преобразования Фурье, позволяющий получить результат за время, меньшее чем $$O(N^2)$$ (требуемого для прямого, поформульного вычисления). Иногда под быстрым преобразованием Фурье понимается один из алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте — времени, имеющий сложность $$(N\log N)$$.

Соответствующие функции в MatLab:

• Y = fft(X) возвращает дискретное преобразование Фурье вектора X, вычисленное с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье.
  • Если X-вектор, то fft(X) возвращает преобразование Фурье вектора.
  • Если X-матрица, то fft(X) возвращает преобразование Фурье каждого столбца матрицы.
  • Если X-многомерный массив, то fft(X) обрабатывает значения первого измерения массива, размер которого не равен 1, как векторы и возвращает преобразование Фурье каждого вектора.
• Y = fft(X,n) возвращает n-мерное быстрое преобразование Фурье. Если значение не указано, то Y имеет тот же размер, что и X.
  • Если X - вектор, и его размерность меньше n, то X дополняется конечными нулями до размерности n.
  • Если X - вектор, и его размерность больше n, то X усекается до размерности n.
  • Если X-матрица, то каждый столбец рассматривается как в векторном случае.
  • Если X-многомерный массив, то первое измерение массива, размер которого не равен 1, обрабатывается так же, как и в векторном случае.
• Y = fft(X,n,dim) возвращает преобразование Фурье вдоль измерения dim.
• X = ifft(Y) вычисляет обратное дискретное преобразование Фурье для Y с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. X - той же размерности, что и Y.
  • Функции: ifft(Y,n), ifft(Y,n,dim) - работаю так же, как соответсвующие функции прямого преобразования.
  • X = ifft (___ , symflag) задает симметрию Y.
• Y = fft2(X) возвращает двумерное дискретное преобразование Фурье X, вычисленное с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Y имеет тот же размер, что и X.
• Y = fft2(X,m,n) усекает X или дополняет X нулями, чтобы создать массив размера $$m \times n$$ перед выполнением преобразования. Результат получается размера $$m \times n$$.

Вывод преобразования

Пусть N $$-$$ чётное.
\( F_n = \sum\limits_{k=0}^{N-1}f_ke^{\frac{-2 \pi ink}{N}} = \{W_N = e^{\frac{-2 \pi i}{N}}\} = \sum\limits_{k=0}^{N-1}f_kW_{\scriptsize N}^{nk} = \sum\limits_{k=0}^{\frac{N}{2}-1}\left(f_{2k}W_{\scriptsize N}^{2nk} + f_{2k+1}W_{\scriptsize N}^{n(2k+1)}\right) = \\ = \sum\limits_{k=0}^{\frac{N}{2}-1}\left(f_{2k}W_{\scriptsize N/2}^{nk} + f_{2k+1}W_{\scriptsize N}^{n}W_{\scriptsize N/2}^{nk}\right) = \left(\sum\limits_{k=0}^{\frac{N}{2}-1}f_{2k}W_{\scriptsize N/2}^{nk}\right) + W_{\scriptsize N}^{n}\left(\sum\limits_{k=0}^{\frac{N}{2}-1}f_{2k+1}W_{\scriptsize N/2}^{nk}\right)\)
Количество сложений: \(\: N(N-1) = N^2 - N\)
Количество умножений: \(\: \frac{N}{2}\cdot \frac{N}{2} + N + \frac{N}{2}\cdot \frac{N}{2}= \frac{N^2}{2} + N\)
Оценка сложности: \(\: o \, (N\log N)\)