Условия непрерывности функции максимума

Для того, чтобы исследовать условия непрерывности функции максимума, то есть, максимальной функции Гамильтона при зафиксированном управлении, нужно использовать многозначный анализ. Введем некоторые необходимые понятия.

\(\mathcal{A} \in\) comp \(\mathbb{R}^n\) - непустой компакт в \(\mathbb{R}^n\).

Пусть дано многозначное отображение \(\mathcal{P}(\cdot)\). \(u(t)\) - селектор \(\mathcal{P}(\cdot)\), если \(u(t) \in \mathcal{P}(t), \forall t \in [t_0,t_1]\).

Функция Гамильтона - многозначное отображение, а функция максимума - ее селектор, максимизирующий функцию по управлению. Покажем, при каких условиях функция максимума непрерывна.

Лемма о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным

Пусть \(\Z: V \Rightarrow\) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\). \(Z\) непрерывно на \(V\). Следовательно, \(\rho(l|Z(V))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\).

Доказательство леммы

Пусть \((l^0,v^0) \in \mathbb{R}^l \times V\). Покажем, что \(|\rho(l|Z(v)) - \rho(l^0|Z(v^0))| < \varepsilon\). \begin{equation} '"`UNIQ-MathJax19-QINU`"' comp '"`UNIQ-MathJax20-QINU`"' непрерывна и равномерно ограничена на '"`UNIQ-MathJax21-QINU`"'. То есть, '"`UNIQ-MathJax22-QINU`"' comp '"`UNIQ-MathJax23-QINU`"'. 2) '"`UNIQ-MathJax24-QINU`"' непрерывна по '"`UNIQ-MathJax25-QINU`"'. Тогда '"`UNIQ-MathJax26-QINU`"' - непрерывна на '"`UNIQ-MathJax27-QINU`"'. =='"`UNIQ--h-3--QINU`"' Доказательство леммы == '"`UNIQ-MathJax28-QINU`"'. '"`UNIQ-MathJax29-QINU`"' непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, '"`UNIQ-MathJax30-QINU`"' такие, что '"`UNIQ-MathJax31-QINU`"' верно: '"`UNIQ-MathJax32-QINU`"'. Исследуем непрерывность '"`UNIQ-MathJax33-QINU`"' при '"`UNIQ-MathJax34-QINU`"'. '"`UNIQ-MathJax35-QINU`"' непрерывна на V, следовательно, для данного '"`UNIQ-MathJax36-QINU`"' существует '"`UNIQ-MathJax37-QINU`"' такая, что '"`UNIQ-MathJax38-QINU`"'. Это верно тогда и только тогда, когда '"`UNIQ-MathJax1-QINU`"' Выберем любое '"`UNIQ-MathJax39-QINU`"', такое, что '"`UNIQ-MathJax40-QINU`"', и проверим, следует ли из этого '"`UNIQ-MathJax41-QINU`"'. Пусть '"`UNIQ-MathJax42-QINU`"' Argmax '"`UNIQ-MathJax43-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax2-QINU`"' Из этого следует, что: '"`UNIQ-MathJax3-QINU`"' Тогда: \begin{equation} H(v) - H(v^0) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{max}g(v,z) - \underset{z^0 \in \mathcal{Z} (v^0)}{max}g(v^0,z^0) \leqslant g(v,z^*) - g(v^0, z') < \varepsilon. \end{equation}

При этом, \begin{equation} H(v^0) - H(v) \leqslant g(v^0,z^{0*}) - g(v, z'') < \varepsilon. \end{equation}

Следовательно, \(H\) непрерывна. Лемма доказана.