Непрерывность и дифференцируемость траекторий по начальным данным

Рассмотрим следующую задачу Коши\[\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &\dot x(t) = g(t, x(t)),\\ &x(t_0) = x^0. \end{aligned} \right.\end{aligned}\] Решение системы обозначим \(x[t] \stackrel{\text{def}}{=}x(t, t_0, x^0).\)

Непрерывность, частный случай

Будем предполагать, что \(\begin{aligned} g: [T_0, T_1] \times \mathbb{R}}^n \to \mathbb{R}^n, -\infty \leqslant T_0 < T_1 \leqslant+\infty.\end{aligned}\) Также наложим следующие ограничения:

1. \(\begin{aligned}[t]\label{technical} &g(t) \text{ измерима по } t \in [T_0, T_1] \forall x \in {\mathbb{R}}^n, \\ &g(t) \text { непрерывна по } x \text{ для почти всех } \dot \forall t \in [T_0, T_1], \end{aligned}\)
2. \(\begin{aligned}[t]\label{Lipsh} \exists L = const > 0: \left\lVert g(t, x_1) - g(t, x_2) \right\rVert \leqslant L\left\lVert x_1 - x_2 \right\rVert\\ \quad \forall x_1, x_2 \in {\mathbb{R}}^n, \dot \forall t \in [T_0, T_1], \end{aligned}\)
3. \(\begin{aligned}[t]\label{sublinear} \exists A, B = const: A, B > 0: \left\lVert g(t, x) \right\rVert \leqslant A\left\lVert x \right\rVert + B\\ \quad \forall x \in {\mathbb{R}}^n,\dot \forall t \in [T_0, T_1]. \end{aligned}\)

Под записью \(\dot \forall t\) подразумевается "для почти всех \(t\)". Ограничения [technical] носят технический характер и необходимы для обеспечения существования решения. Ограничениe [Lipsh]  —условие Липшица. Ограничениe [sublinear] называется условием сублинейного роста.

Далее введем введем небольшие переобозначения и будем рассматривать следующую систему\[\begin{aligned} \label{newSys} \left\{ \begin{aligned} &\dot x(t) = g(t, x(t)),\\ &x(\tau) = \xi,\\ & \tau \in (T_0, T_1). \end{aligned} \right.\end{aligned}\]

функция \(y(t)\) называется \(\varepsilon-\)решением системы [newSys], если \(\begin{aligned} &y(t) \in AC([\tau_0, \tau_1, {\mathbb{R}}^n]),\\ &\left\lVert\dot y(t)- g(t, y(t)) \right\rVert \leqslant\varepsilon,\\ &\dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. \end{aligned}\)

То есть производная абсолютно непрерывной функции \(y(t)\) является решением уравнения \(\dot y(t) = g(t, y(t))\) с погрешностью не больше, чем \(\varepsilon.\)

Пусть \(y_1(t)\)  — \(\varepsilon_1\)-решение, а \(y_2(t)\)  — \(\varepsilon_2\)-решение задачи [newSys], \(\varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0, y_1(\tau), y_2(\tau)\) определены на \([\tau_0, \tau_1],\) \(T_0 < \tau_0 < \tau < \tau_1 < T_1\) и \(\left\lVert y_1(\tau) - y_2(\tau) \right\rVert \leqslant\delta.\) Тогда \(\begin{aligned} \left\lVert y_1(t) - y_2(t) \right\rVert \leqslant\delta e^{L\left|t - \tau\right|} + \frac{\varepsilon}{L}\left(e^{L\left|t - \tau\right|} - 1\right),\\ \varepsilon= \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \geqslant 0, \tau_0 < t < \tau_1. \end{aligned}\)

Раз \(y_j(t)\)  — \(\varepsilon\)-решение, то справедливо \(\left\lVert\dot y(t) - g(t, y(t)) \right\rVert \leqslant\varepsilon_j.\) Обозначим \(z_j(t) = \dot y_j(t) - g(t, y_j(t)).\) Ясно, что \(\left\lVert z{j} \right\rVert \leqslant\varepsilon_j.\) Проинтегрируем \(z_j(t):\) \(\begin{aligned} \int \limits_{\tau}^{t}z_j(s)ds = y_j(t) - y_j(\tau) - \int \limits_{\tau}^{t}g(s, y_j(s)ds. \end{aligned}\) Вычтем друг из друг равенства для \(j = 1, 2:\) \(\begin{aligned} \int \limits_{\tau}^{t}\left[z_1(s) - z_2(s)ds\right] = y_1(t) - y_1(\tau) - (y_2(t) - y_2(\tau) )-\\ - \int \limits_{\tau}^{t}\left[g(s, y_1(s) - g(s, y_2(s)) \right]ds. \end{aligned}\) Обозначим \(\Delta y(t) = y_1(t) - y_2(t), r(t) = \left\lVert\Delta y(t) \right\rVert.\) Воспользовавшись Липшицевостью функции \(g(t, y_j(t))\) и тем, что \(\left\lVert z_j(t) \right\rVert < \varepsilon_j,\) получим следующее\[\begin{aligned} \label{lem1:eq1} r(t) \leqslant r(\tau) + L \int \limits_{\min (t, \tau)}^{\max (t, \tau)}r(s)ds + \varepsilon\left|t - \tau\right|. \end{aligned}\] Не ограничивая общности положим \(t > \tau\) (если не так, просто переобозначим \(t = \tau, \tau = t\)). Обозначим \(r(t) = \dot R(t).\) Тогда после того, как воспользуемся условием \(r(\tau) < \delta\), [lem1:eq1] примет вид\[\begin{aligned} \dot R(t) - LR(t) \leqslant\delta + \varepsilon(t - \tau). \end{aligned}\] Домножим на интегрирующий множитель \(e^{-Lt},\) и получим\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}(R e^{Lt}) \leqslant(\delta + \varepsilon(t - \tau))e^{-Lt}. \end{aligned}\] Проинтегрировав на отрезке \([\tau, t]\) и домножив на \(e^{Lt}\) получим\[\begin{aligned} R(t) = \frac{\delta}{L}\left(e^{-L(t - \tau)} -1 \right) - \frac{\varepsilon}{L}(t - \tau) + \frac{\varepsilon}{L^2}\left(e^{L(t - \tau)} -1 \right). \end{aligned}\] Подставим получившийся результат в [lem1:eq1] вместо интеграла, получим\[\begin{aligned} r(t) \leqslant\delta + \delta \left(e^{l(t - \tau)} -1 \right) + \varepsilon\left( \frac{e^{L(t - \tau)} - 1}{L}\right). \end{aligned}\]

Заметим, что точные решения системы [newSys] с различным начальными данными \(x_1(t) = x(t, \tau, \xi_1), x_2(t) = x(t, \tau, \xi_2)\) являются \(\varepsilon\)-решениями при \(\varepsilon= 0.\) Тогда оценка в лемме примет вид\[\begin{aligned} \left\lVert x_1(t) - x_2(t) \right\rVert \leqslant\delta + \delta \left(e^{l(t - \tau)} -1 \right), \end{aligned}\] откуда видно, что если начальные значения достаточно близки, то и решения \(x_1(t), x_2(t)\) близки, то есть \(x(t, \tau, \xi)\) непрерывна по \(\xi.\) Однако в при выполнении условий [Restr] справедлив более сильный результат.

Пусть \(x(t, \tau, \xi)\)  — решение задачи [newSys] и выполняются условия [Restr]. Тогда \(x(t, \tau, \xi) \in C((T_0, T_1)^2 \times {\mathbb{R}}^n).\)

Обозначим \(V = (T_0, T_1)^2 \times {\mathbb{R}}^n.\) Решение будем строить методом последовательных приближений. Положим \(\begin{aligned} x_0(t, \tau, \xi) = y[t] + \xi - y[\tau], \end{aligned}\) где \(y[t] = x(t, t_0, x_0)\)  — решение для некоторого \(T_0 < t_0 < T_1.\) То есть \(\begin{aligned} y(t) = y(\tau) + \int \limits_{\tau}^{t}g(s, y(s))ds. \end{aligned}\) Положим \(k\)-ое приближение\[\begin{aligned} x_k(t, \tau, \xi) = \xi + \int \limits_{\tau}^{t}g(s, x_{k-1}(s, \tau, \xi))ds. \end{aligned}\] Далее под индукции покажем оценку для \(\left\lVert x_k(t, \tau, \xi) - x_{k-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert.\) База\[\begin{aligned} \left\lVert x_1(t, \tau, \xi) - x_{0}(t, \tau, \xi) \right\rVert = \\ =\left\lVert\int \limits_{tau}^{t} \left[g(s, x_0(s, \tau, \xi)) - g(s, y[s])ds\right] \right\rVert \leqslant L\left\lVert\xi - y[\tau] \right\rVert\left|t - \tau\right|. \end{aligned}\] Аналогично для произвольного \(k\) имеем \(\begin{aligned} \left\lVert x_k(t, \tau, \xi) - x_{k-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert \leqslant L^{k+1}\frac{\left|t - \tau\right|^{k+1}}{(k+1)!}\left\lVert\xi -y[\tau] \right\rVert \to 0, k \to +\infty. \end{aligned}\) Представим \(x_k(t, \tau, \xi) = \sum \limits_{i = 0}^{k}x_{i}(t, \tau, \xi) - x_{i-1}(t, \tau, \xi).\) Тогда подставив полученные выше оценки получим\[\begin{aligned} \left\lVert x_k(t, \tau, \xi) - y[t] \right\rVert = \left\lVert\sum \limits_{i = 1}^{k}x_{i}(t, \tau, \xi) - x_{i-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert \leqslant \sum \limits_{i = 1}^{k}\left\lVert x_{i}(t, \tau, \xi) - x_{i-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert \leqslant\\ \leqslant\sum \limits_{i = 1}^{k} L^{i+1}\frac{\left|t - \tau\right|^{i+1}}{(i+1)!}\left\lVert\xi -y[\tau] \right\rVert \leqslant e^{L(t - \tau)}\left\lVert\xi - y[\tau] \right\rVert. \end{aligned}\] Получили, что функциональный ряд ограничен сверху на любом компакте \(K \subset V\), значит по признаку Даламбера он равномерно сходится. Из непрерывности \(y[t]\) ([Restr]) следует непрерывность \(x_k(t, \tau, \xi).\) При этом заметим, что \(x\)  — неподвижная точка сжимающего отображения \(G(x) = \xi + \int \limits_{\tau}^{t}g(s, x(s, \tau, t)),\) значит \(\begin{aligned} x_k[t] \rightrightarrows x[t], k \to \infty \end{aligned}\) Тогда выполнив предельный переход, получаем, что \(\begin{aligned} \left\lVert x_k(t, \tau, \xi) - y[t] \right\rVert \leqslant e^{L(t - \tau)}\left\lVert\xi - y[\tau] \right\rVert. \end{aligned}\) При этом в силу непрерывности \(x_k[t]\) и равномерной сходимости следует, что \(x[t]\) непрерывна.