Теорема о наполнении

Теорема о наполнении выпуклой оболочки

Множество $$\operatorname{conv} A$$ состоит из тех и только тех точек, которые являются выпуклыми комбинациями конечного числа точек из $$A$$.

Доказательство

Обозначим через $$B$$ множество всевозможных выпуклых комбинаций конечного числа точек из $$A$$. Поскольку множество conv $$A$$ выпукло и $$A \subset \operatorname{conv} A$$, то $$B \subset$$ $$\operatorname{conv}$$ $$A$$. Докажем обратное включение.

Покажем, что множество $$B$$ выпукло.
Действительно, пусть $$b_1, b_2 \in B$$. Тогда каждая из точек $$b_1$$ и $$b_2$$ представима в виде выпуклой комбинации конечного числа точек из $$A$$, причем, увеличивая, если надо, число этих точек, можно без потери общности считать, что существуют номер $$m$$ и точки $$a_i \in A, i=\overline{1, m}$$, для которых справедливы представления $$b_s=\sum\limits_{i=1}^m \alpha_{s, i} a_i,~ s=1,2$$. Здесь $$\alpha_{s, i}, i=\overline{1, m}, s=1,2$$, - некоторые неотрицательные числа, для которых $$\sum\limits_{i=1}^m \alpha_{s, i}=1,~ s=1,2$$. Осталось доказать, что $$\theta b_1+(1-\theta) b_2 \in B ~~\forall \theta \in[0,1]$$. Действительно, \begin{gather*} \theta b_1+(1-\theta) b_2=\sum\limits_{i=1}^m\left(\theta \alpha_{1, i}+(1-\theta) \alpha_{2, i}\right)a_i \in B, \end{gather*} поскольку $$\theta \alpha_{1, i}+(1-\theta) \alpha_{2, i} \geqslant 0$$ для всех $$i$$ и

\begin{gather*} \sum\limits_{i=1}^m\left(\theta \alpha_{1, i}+(1-\theta) \alpha_{2, i}\right)=\theta \sum\limits_{i=1}^m \alpha_{1, i}+(1-\theta) \sum\limits_{i=1}^m \alpha_{2, i}=\theta+(1-\theta)=1. \end{gather*}

Таким образом, выпуклость множества $$B$$ доказана. В то же время, $$A \subset B$$ и, значит, conv $$A \subset B$$. Итак, равенство conv $$A=B$$ доказано.