Приложения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство.

Преобразование Фурье в теории вероятностей:

Характеристическая функция:

Рассмотрим $$(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$$ - вероятностное пространство.
Пусть есть случайная величина $$X$$ с распределением $$\mathbb{P}^X$$.
Тогда характеристическая функция задаётся формулой:
\[ \phi_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{itX}\right], \]
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:
\[ \phi_X(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx} \mathbb{P}^X(dx), \]
то есть характеристическая функция $$-$$ обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.
Если дана случайная величина $$X$$ с характеристической функцией $$\phi_X(t)$$. Тогда

• если $$X$$ дискретна и принимает целые значения, то

\[\mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi e^{-itk} \phi_X(t)dt, k \in \mathbb{Z}; \]

• если $$X$$ абсолютно непрерывна, и $$f_X(x) - $$ ее плотность, то
  

\[ f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-itx}\phi_X(t) dt, x \in \mathbb{R}. \]

Теорема Муавра-Лапласа:

Пусть у нас есть последовательность независимо одинаково распределенных случайных величин \[ X_1, X_2, \dots, X_n, \dots, \text{где } X_k = \begin{cases} 1, \text{с вероятностью } p \\ 0, \text{с вероятностью } q = 1 - p \end{cases} \] Обозначим $$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$$ как частичную сумму.
Тогда среднеквадратичное отклонение \[\sigma_n = \frac{S_n - \mathbb{E}S_n}{\sqrt{\mathbb{D}S_n}} = \frac{S_n - np}{\sqrt{npq}} \] И значит, $$\sigma_n \xrightarrow{сл} \sigma \sim N(0, 1)$$
Введем случайную величину $$\xi_k = \frac{X_k - p}{\sqrt{npq}}, \sigma_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$$,
тогда \[f_{\sigma_n} = \mathbb{E}e^{it\sum_{k=1}^n \xi_k} = \{ \text{т.к. с.в. независимы} \} = (\mathbb{E}e^{it\xi_1})^n \]
Найдем характеристическую функцию $$\xi_1:$$ \[ f_{\xi_1}(t) = pe^{\frac{itq}{\sqrt{npq}}} + qe^{\frac{-itp}{\sqrt{npq}}} = \{ \text{разложим в ряд по t и выпишем первые несколько членов} \} = \\ = 1 + \left( \frac{iqp}{\sqrt{npq}}e^\frac{itq}{\sqrt{npq}} - \frac{ipq}{\sqrt{npq}}e^\frac{-itp}{\sqrt{npq}} \right)\vert_{t=0} t + \frac{1}{2}\left( -\frac{q^2 p}{npq} - \frac{p^2 q}{npq} \right)t^2 + \dots = 1 - \frac{t^2}{2n} + \dots = (1 - \frac{t^2}{2n} + \overline{o}\left( \frac{1}{n} \right))^n \rightarrow e^{-\frac{t^2}{2}}, \] а это х.ф. $$N(0, 1)$$.

Применение преобразования Фурье для решения уравнений в частных производных:

Рассмотрим свободные колебания бесконечного стержня.
Они описываются следующей системой уравнений в частных производных:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \frac{1}{a^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0, \quad a > 0, x \in \mathbb{R}, t \ge 0 \\ y(x, 0) = f(x) \\ y_t(x, 0) = ag''(x) \end{cases} \end{equation*} \] Применим преобразование Фурье к этой системе:
\[ \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial^2 Y}{\partial t^2} + a^2 \lambda^4 Y = 0 \\ Y(\lambda, 0) = F(\lambda) \\ Y_t(\lambda, 0) = a \lambda^2 G(\lambda) \end{cases} \end{equation*} \] Решением уравнения является функция $$Y = F(\lambda)\cos(a\lambda)+G(\lambda)\sin(a\lambda^2t)$$
Т.к. преобразование Фурье для функции $$f(t) = e^{-\alpha t^2}$$ имеет вид $$F(\lambda) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}}$$, то взяв в качестве $$\alpha = iat$$, получим
\[ e^{-iat\lambda^2} \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{iat}} e^{-\frac{X^2}{4iat}} = \sqrt{\frac{\pi}{at}} \frac{(-1-i)}{\sqrt{2}} e^{\frac{iX^2}{4at}} = \{ \text{Распишем Re и Im} \} = \sqrt{\frac{\pi}{2at}} \left( \cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right) + i \sqrt{\frac{\pi}{2at}}\left( -\cos(\frac{X^2}{4at}) + \sin(\frac{X^2}{4at}) \right) \] Имеем: \[ y = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x -\xi)F^{-1}[\cos(a\lambda^2 t)](\xi)d\xi + \int\limits_{-\infty}^\infty g(x-\xi)F^{-1}[\sin(a\lambda^2 t)](\xi) d\xi \] Из преобразования выше \[ \implies y = \frac{1}{2\sqrt{2\pi at}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-\xi)(\cos(\frac{\xi}{4at}) - \sin(\frac{\xi^2}{4at}))d\xi = \{ \text{замена } u = \frac{\xi}{\sqrt{4at}} \} = \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2)+\sin(u^2))du + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty g(x - 2\sqrt{at}u)(\cos(u^2) - \sin(u^2))du \] -- ответ в виде интеграла.

Преобразование Фурье в уравнении теплопроводности:

Имеем задачу Коши: \[ \begin{cases} u_t = \varkappa \Delta u + \xi(x, t), x \in \mathbb{R}^3 \\ u(x, 0) = u_0(x) \end{cases} \] где $$\xi$$ - функция источника, например $$\xi(x, t) = f(t)\delta(x-x^0)$$ - точечный источник (в этом случае $$u$$ - обобщенная функция).
Будем считать, что $$\xi \in C^2$$ \[\frac{d}{dt}u + \varkappa(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2)u = \Xi(\lambda, t), \lambda \in \mathbb{R}^3 \] \[u(\lambda, t) = u_0(\lambda)e^{-\varkappa t(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2)} + \int\limits_0^t \Xi(\lambda, \tau) e^{-\varkappa(t-\tau)(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2)}d\tau\] \[u_0(\lambda) = \int\limits_{\mathbb{R}^3}u_0(x)e^{-<\lambda, x>}dx\] Возвращаясь к исходным функциям, получим \[ u(x, t) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int\limits_{\mathbb{R}^3}u_0(\lambda)e^{-\varkappa t\vert\vert\lambda\vert\vert^2}e^{i<\lambda,x>}d\lambda + \frac{1}{(2\pi)^3}\int\limits_{\mathbb{R}^3}\int\limits_0^t \Xi(\lambda, \tau)e^{-\varkappa(t-\tau)\vert\vert\lambda\vert\vert^2}e^{i<\lambda, x>}d\lambda\]= \[ G(\lambda, t) = e^{-\varkappa t \vert\vert \lambda \vert\vert^2} \rightarrow \left( \sqrt{\frac{\pi}{\varkappa t}} \right)^3\frac{1}{(2\pi)^3}e^{-\frac{\vert\vert x \vert\vert^2}{4\varkappa t}} = \frac{1}{(4\pi\varkappa t)^\frac{3}{2}}e^{-\frac{\vert\vert x\vert\vert^2}{4\varkappa t}} \] Используем преобразование произведения в свертку \[ F^{-1}[F[u_0]\cdot G] = u_0 \ast F^{-1}[G] \] =\[ \frac{1}{(4\pi\varkappa t)^\frac{3}{2}}\int\limits_{\mathbb{R}^3} u_0(t) e^{-\frac{\vert\vert x-\alpha \vert\vert^2}{4\varkappa t}}d\alpha + \int\limits_{\mathbb{R}^3}\int\limits_0^t \frac{1}{(4\pi\varkappa (t-\tau))^\frac{3}{2}}\xi(\alpha, \tau)e^{-\frac{\vert\vert x-\alpha \vert\vert^2}{4\kappa(t-\tau)}}d\tau d\alpha \] т.е. мы выразили решение через исходные данные.