Теорема о чередовании нулей и её приложения

Рассмотрим движение материальной точки в нелинейном поле:

\begin{equation*} \ddot x + f(x, \dot x) = u, \end{equation*} \begin{equation*}\label{newSys} \begin{cases} \dot x_1 = x_2,\\ \dot x_2 = -f(x_1, x_2) + u,\\ x_1(t_0) = x_1^0, x_2(t_0) = x_2^0,\\ |u| \leq 1. \end{cases} \end{equation*}

Пусть \(f(0, 0) = 0\) (иначе воспользуемся заменой переменных). Требуется стабилизировать систему: \begin{equation*} \begin{cases} \dot x_1(t_1) = \dot x_2(t_1) = 0,\\ t_1 \rightarrow min. \end{cases} \end{equation*} \begin{equation*} H = \psi_1 x_2 - \psi_2 f(x_1, x_2) + \psi_2 u \end{equation*}

Сопряженная система: \begin{equation*} \begin{cases} \dot \psi_1 = \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1},\\ \dot \psi_2 = -\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2},\\ \end{cases} \end{equation*} Условие максимума: \begin{equation*} u^* = \begin{cases} \sign \psi_2, \psi_2 \neq 0,\\ [-1, 1], \psi_2 = 0.\\ \end{cases} \end{equation*}