Фазовый объём. Теорема Лиувилля

Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений: \begin{gather*} \frac{dx_i}{dt}=f_i(x), \quad x(0)=x^0\in D_0. \end{gather*} Введём обозначение для множества решений системы в фиксированный момент времени: \begin{gather*} D_t=\left\{\,x(t\, ;\,x^0),\quad x^0\in D_0\right\}. \end{gather*} Тогда принято говорить, что \begin{gather*} %V_t=\underbrace{\int...\int}_{D_t} dx_1\,dx_2...dx_n. V_t=\int\limits_{D_t} dx_1 dx_2...dx_n.\\ V_0~- \text{фазовый объём } D_0,\\ V_t~- \text{фазовый объём } D_t, \end{gather*}