Бифуркационная диаграмма

Определение

Определение 1. Бифуркационной диаграммой динамической системы называется разбиение пространства параметров на максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями топологической эквивалентности и рассматриваются вместе с фазовыми портретами для каждого элемента разбиения.

Смысл

\begin{gather*} \begin{cases} \dot{u}=f(u), ~ u \in \mathbb{R} \\ \dot{v}=g(v), ~ v \in \mathbb{R}. \end{cases} \end{gather*}

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ a = a_0 $$ и рассмотрим в пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ a_0, $$ такое, что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе при $$ a = a_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее би- фуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные модели поведения данной системы.

Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.

Алгоритм построения бифуркационной диаграммы

Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

Запускаем цикл по j от 1 до N, перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по i от 1 до N, в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по i от 1 до M, в котором производим ещё M итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2. Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а пунктирная — неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$

Примеры бифуркационных диаграмм

Пример 1. Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t). \end{gather*} Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы. N - число итераций необходимое для того, чтобы траектория сошлась к некоторому постоянному состоянию,

M - число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии,

$$ v_0 $$ - точка, в которой происходит поиск.

Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.3 $$.

Пример 2. Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{u}= a + u^2 = f(u; a). \end{gather*}

Пример 3. Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*} \dot{u}= au - u^3, ~ a \in \mathbb{R}. \end{gather*}

Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.

Список литературы

1. Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.