Дискретные системы с запаздыванием

Модель с запаздыванием

Динамической моделью с дискретным временем с учетом эффекта запаздывания называется модель следующего вида:

\begin{equation*} u_{t+1} = f(u_{t}, u_{t-1}, ..., u_{t - T}), F: \mathbb{R}^{(T+1)} \rightarrow \mathbb{R}, T \in \mathbb{N}, T \geqslant 1. \end{equation*}

Для определения системы необходимо ввести $$(T + 1)$$ исходных данных: $$u_{0}, u_{1}, ..., u_{T}$$.

Преобразование модели

Модель с запаздыванием можно переписать в виде дискретной системы из $$(T + 1)$$-ого уравнения. Для этого введем следующие обозначения: \begin{equation*} v_{1}(t) = u(t), v_{2}(t) = u(t-1), ..., v_{T + 1}(t) = u(t-T). \end{equation*}

Тогда получаем:

\begin{equation*} \begin{cases} v_{1}(t + 1) = f(v_{1}(t), v_{2}(t),..., v_{T+1}(t)),\\ v_{2}(t+1) = v_{1}(t),\\ ...\\ v_{T+1}(t+1) = v_{T}(t). \end{cases} \end{equation*}

Таким образом, системы с запаздыванием являются частным случаем многомерных дискретных систем.

Неподвижная точка системы с запаздыванием

Неподвижной точкой системы с запаздыванием называются решения системы \begin{equation*} v^{*} = f(v^{*}, ..., v^{*}), v^{*} \in \mathbb{R} \end{equation*}

Устойчивость неподвижных точек

Рассмотрим уравнение $$v_{t+ 1} = f(v^{1}_{t}, v^{2}_{t},..., v^{T+1}_{t})$$. Для исследования неподвижных точек удобно воспользоваться линеаризацией и рассмотреть матрицу

\begin{equation*} A = \Vert a_{ij} \Vert_{(T+1)\times (T+1)} = \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial f}{\partial v^{1}} & \dfrac{\partial f}{\partial v^{2}} & \ldots & \dfrac{\partial f}{\partial v^{T}} & \dfrac{\partial f}{\partial v^{T+1}}\\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0\\ \end{array} \right) \end{equation*}

Характеристический многочлен

Характеристический многочлен матрицы $$А$$ имеет вид $$\sum\limits_{i = 0}^{t} a_{1(i+1)} \lambda^{T-i} - \lambda^{T+1} = 0.$$

Доказательство

Докажем по индукции. База индукции:

\begin{equation*} A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ 1 & 0\\ \end{array} \right) \end{equation*}

\begin{equation*} \left| A - \lambda E \right| = \lambda^{2} - a_{11} \lambda -a_{12} = 0 \Leftrightarrow a_{11} \lambda^{1} + a_{12} \lambda^{0} - \lambda^{2} = 0. \end{equation*}

Сделаем переход от $$n$$ к $$(n+1)$$:

\begin{equation*} \vert A - \lambda E \vert = \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} - \lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n} & a_{1(n+1)}\\ 1 & -\lambda & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 & -\lambda\\ \end{array} \right| \end{equation*}

Раскладывая матрицу по последнему столбцу: \begin{equation*} \vert A - \lambda E \vert = -\lambda \vert A_{n} - \lambda E \vert + a_{1(n+1)}\cdot 1\cdot = \sum\limits_{i = 0}^{t} a_{1(i+1)} \lambda^{T-i} - \lambda^{T+1}.$$ \end{equation*} Утверждение доказано. Таким образом, можно найти собственные значения матрицы, которые являются корнями характеристического многочлена. Если все $$\vert \lambda_{i} \vert < 1$$, то точка является асимптотически устойчивой.