Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры
Популяционная система Коломогорова
В данном разделе нами рассматриваются межвидовые отношения типа "хищник - жертва". Опишем формально динамическую систему с непрерывным временем, моделирующую динамику численностей взаимодействующих популяций. Пусть динамика отдельной изолированной популяции задается уравнением\[\dot u = uf(u).\] Здесь $$u(t)$$ - численность популяции в момент времени $$t$$, $$f(u)$$ - коэффициент прироста, который зависит от текущей численности. Если имеется несколько взаимодействующих популяций, то коэффициент прироста каждой их них в самой общей ситуации зависит от численностей всех рассматриваемых популяций, и мы получаем систему дифференциальных уравнений: \begin{equation}\label{syst1} \begin{cases} \dot u_1 = u_1f_1(u_1, u_2, \dots, u_n),\\ \dot u_2 = u_2f_2(u_1, u_2, \dots, u_n),\\ \dots\\ \dot u_n = u_nf_n(u_1, u_2, \dots, u_n),\\ \end{cases} \end{equation} где $$u = (u_1, u_2, \dots, u_n)$$ --- вектор численностей (или плотностей) взаимодействующих популяций, а $$f(u)$$ --- вектор-функция, описывающая систему, каждая компонента которой представляет собой коэффициент прироста соответствующего вида. Динамическую систему \eqref{syst1} будем называть системой популяционной динамики, либо, как на неё часто ссылаются, популяционной системой Колмогорова.
Система Лотки-Вольтерры "хищник-жертва"
Одной из первых математических моделей взаимодействующих популяций является система ОДУ, предложенная Вольтеррой в связи с попыткой объяснить колебания улова рыбы в Адриатическом море. Та же сама система была предложена Лоткой немного ранее. Модель Лотки-Вольтерры описывает вазимодействие двух видов, один из которых является хищником, а другой --- жертвой (например, экологическая система волки-зайцы)
Если $$N(t)$$ - численность жертв, $$P(t)$$ - численность хищников в момент времени $$t$$, то модель Лотки-Вольтерры имеет вид:
\begin{equation}\label{syst2} \begin{cases} \dot N = aN - bNP,\\ \dot P = -dP + cNP,\\ \end{cases} \end{equation}
где a, b, c, d --- положительные постоянные. \newline Основные предположения, положенные в основу системы \eqref{syst2} характеризуются следующими гипотезами: в отсутствиии хищников жертвы размножаются неограниченно ($$\dot N = aN$$); хищники в отсутствии жертв вымирают ($$\dot P = -dP$$); слагаемые, пропорциональные NP, рассматриваются как превращение энергии одного источника в энергию другого (эффект влияния популяции хищников на популяцию жертв заключается в уменьшении относительной скорости прироста численности жертв на величину, пропорциональную численности хищников). \newline Рассматривая систему \eqref{syst2} в качестве математической модели взаимодействущих популяций естественно считать фазовым пространством множество $$\mathbb{R}^2_+$$, которое является инвариантным, так как любая траектория, начинающаяся в $$\mathbb{R}^2_+$$ не может пересечь линии $$N = 0$$ и $$P = 0$$, являющиеся фазовыми кривыми. \newline В безразмерных переменных система принимает вид:
\begin{equation}\label{syst3} \begin{cases} \dot u = u(1-v),\\ \dot v = \gamma v(u-1),\\ \end{cases} \end{equation}
где\[u(\tau) = \frac{d}{c}N(t), ~v(\tau) = \frac{bP(t)}{a}, ~\tau = at, ~\gamma = \frac{c}{a}.\] Система \eqref{syst3} имеет две неподвижные точки: (0,0), (1,1). Стандартный линейный анализ показывает, что точка (0,0) - седло, а для (1,1) матрица Якоби имеет вид\['"`UNIQ-MathJax15-QINU`"'\]
