Неподвижные точки системы
Содержание
Неподвижные точки
Случай с дискретным временем
Пусть задана динамическая система с дискретным временем
\begin{equation} \label{sist1} N_{t+1}=f(N_{t}), N_{t}\in\mathbb{R}, f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation}
Определение 1.
Решения задачи (\ref{sist1}), не изменяющиеся с течением времени $$t$$ называются неподвижными точками отображения (\ref{sist1}). Неподвижные точки определяются как решение уравнения $$N=f(N)$$.
Заметим, что нередко функцию $$f(N)$$ представляют в виде $$f(N)=Nf(N)$$, чтобы подчеркнуть существование тривиальной неподвижной точки $$N^{*}=0$$. В этом случае остальные неподвижные точки — решения уравнения $$f(N)$$
Устойчивость неподвижных точек
Определение 2.
Неподвижная точка $$N^{*}$$ отображения (\ref{sist1}) называется устойчивой по Ляпунову, если для любого $$\varepsilon > 0$$ существует такое $$\delta > 0$$, что для любых начальных данных $$N_{0}$$ из $$\delta$$-окрестности точки $$N^{*}$$ вся траектория системы $$N_{t}$$, $$t = 0, 1, 2, ...$$ содержится в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$N^{*}$$.
Если, кроме того, $$\displaystyle{\lim_{t\to\infty}} N_{t} = N^{*}$$, то точка $$N^{*}$$ называется асимптотически устойчивой.
Асимптотически устойчивые неподвижные точки иногда называют аттракторами, а неустойчивые неподвижные точки иногда называют репеллерами.
Теорема 1.
Пусть $$N^{*}$$ — неподвижная точка отображения (\ref{sist1}), т.е. $$N^{*}$$ = $$f(N^{*})$$, и пусть $$f$$ обратима в малой окрестности $$N^{*}$$. Тогда $$N^{*}$$ асимптотически устойчива, если $$|f^{'}(N^{*})| < 1$$, и неустойчива, если $$|f^{'}(N^{*})| > 1$$. Если $$ |f^{'}(N^{*})| = 1$$, то требуются дополнительные исследования.
Доказательство.
Пусть $$|f^{'}(N^{*})| < 1$$ и пусть $$N$$ принадлежит малой окрестности $$N^{*}$$. Так как \[ \displaystyle{\lim_{t\to\infty}} \frac{|f(N)-f(N^{*})|}{|N-N^{*}|}=|f^{'}(N^{*})|, \] поэтому существует такая окрестность $$N^{*}$$, что \[ \frac{|f(N)-f(N^{*})|}{|N-N^{*}|} \leqslant a, \] для всех $$N$$ из этой окрестности; здесь $$a$$ — некоторое число, такое что $$|f^{'}(N^{*})| \leqslant a < 1$$. Таким образом, $$f(N)$$ остается в той же окрестности, что и $$N$$, и, кроме того, ближе к неподвижной точке $$N^{*}$$, по крайней мере, на множитель $$a$$. Отсюда следует, что \[|f(f(N)) − f(f(N^{*}))| \leqslant a |f(N) − f(N^{*})| \leqslant a^2|N − N^{*}|, \] или, по индукции, \[|f^{k}(N) − N^{*}| \leqslant a^{k}|N − N^{*}|, \] где $$f^{k}$$ обозначает $$k$$-ую суперпозицию отображения $$f$$. Таким образом мы доказали,что последовательность $$f^{k}(N)$$ будет сходиться к $$N^{*}$$, то есть является асимптотически устойчивой.
Вторая часть утверждения доказывается сходным образом. $$\blacksquare$$
Пример поиска неподвижных точек с помощью графического метода
Пусть задана система $$v_{t+1} = \frac{r v_t}{(1+ v_t)^b}$$.
Графически неподвижные точки — это точки пересечения графика функции $$f(N)$$ и биссектрисы первого координатного угла $$N_{t+1} = N_{t}$$ (нас интересуют только неотрицательные решения). Для нахождения неподвижных точек заданной системы рассмотрим возможные пересечения графика функции $$f(v)=\frac{rv}{(1+v)^b}$$ с прямой $$g(v)=v$$.
Заметим, что система \begin{equation} \label{sist2} \begin{cases} f(v)=\frac{rv}{(1+v)^b},\\g(v)=v. \end{cases} \end{equation} при любых $$v \geqslant 0, ~r,b > 0$$ имеет хотя бы один корень, а именно $$v=0$$. Второй корень $$v=r^{1/b}-1$$ система может иметь только при значении параметра $$r> 1$$. Больше двух неотрицательных корней система (\ref{sist2}) не имеет.
Пример исследования неподвижных точек на устойчивость
Исследуем на устойчивость неподвижные точки $$v^{*}_1=0$$ и $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$ для системы (\ref{sist2}).
\begin{equation} f_v(v^{*})=\frac{r((1+v)^b-bv(1+v)^{b-1})}{(1+v)^{2b}}. \end{equation}
Исследуем сначала точку $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$:
Подставим $$v_2^{*}$$ в выражение (\ref{sist2}) и с учетом наложенных ограничений $$r>1, b>0$$ для существования точки получим
\[ f_v(v_2^{*})=b(r^{-1/b}-1)+1. \]
Согласно теореме 1 точка $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$ будет асимптотически устойчивой, при $$r^{-1/b}<1$$ и неустойчивой при $$r^{-1/b}>1$$. Отметим, что точка $$v^{*}_2=r^{1/b}-1$$ (отличная от нуля) существует только при значении параметра $$r > 1$$, таким образом $$r^{-1/b}$$ принимает значения меньше единицы при любых $$r> 1$$, значит, точка $$v^{*}_2$$ асимптотически устойчива всегда, если она существует.
Теперь исследуем на устойчивость точку $$v^{*}_1=0$$:
Подставим $$v_1^{*}$$ в выражение (\ref{sist2}) и получим \[ f_v(v_1^{*})=r. \] Таким образом, по теореме 1, точка $$v^{*}_1=0$$ будет асимптотически устойчивой, при $$r<1$$ и неустойчивой при $$r>1$$.
Список литературы
1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.
