Решения ОДУ в смысле Каратеодори

В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой

Рассмотрим систему ДУ: \\ \(\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\) Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы $x(\cdot),$ если управление $u(\cdot)$ измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$

Условия Каратеодори

Пусть \($(t_0,x_0) \in \mathbb{R} \dot \mathbb{R}^n $\)и$ \exists a > 0, r > 0$ такие, что: \begin{enumerate} \item Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$ \item g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$, g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$ \item $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что '"`UNIQ-MathJax2-QINU`"' \end{enumerate} Эти три условия и называются условиями Каратеодори.