Банахово пространство

Определение линейного пространства

Определение 1: Непустое множество $$L$$ элементов $$x, y, z\dots,$$ называется линейным, или векторным, пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Для любых двух элементов $$x, y \in L$$ однозначно определен третий элемент $$z \in L$$, называемый их $$\textit{суммой}$$ и обозначаемый $$x + y$$, причем

1. $$ x + y = y + x$$ ($$\textit{коммутативность}$$);
2. $$ x + (y + z) = (x + y) + z$$ ($$\textit{ассоциативность}$$);
3. В $$L$$ существует такой элемент $$0$$, что $$ x + 0 = x$$ для всех $$ x \in L$$ ($$\textit{существование нуля}$$);
4. Для каждого $$ x \in L$$ существует такой элемент $$-x$$, что $$ x + (-x) = 0$$ ($$\textit{существование противоположного элемента}$$).

Для любого числа $$\alpha$$ и любого элемента $$ x \in L$$ определен элемент $$ \alpha x \in L$$ ($$\textit{произведение}$$ элемента $$x$$ на число $$\alpha$$), причем

1. $$ \alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$$ $$(\textit{ассоциативность умножения})$$;
2. $$ 1 \cdot x = x $$ ($$\textit{унитарность}$$);
3. $$ (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров}$$);
4. $$ \alpha (x+y) = \alpha x + \alpha y$$ ($$\textit{дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов}$$).

Определение 2: Пусть $$L$$ — линейное пространство. Каждому элементу $$ x$$ линейного пространства $$L$$ ставится в соответствие вещественное число, которое называется нормой этого элемента и обозначается $$\|x\|$$, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет следующим условиям $$(\textit{аксиомам нормы})$$:

1. $$\|x\| \geq 0 $$, причем $$\|x\| = 0 $$, лишь если $$x = 0$$;
2. $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $$;
3. $$\| \alpha x\| = |\alpha| \|x\|$$.

Определение 3: Линейное пространство $$L$$, в котором задана некоторая норма, называется нормированным пространством.

Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние: \begin{equation*} d(x,y) = \|x - y\|. \end{equation*}

Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.