Модель Рамсея и задачи оптимального управления для неё

Определение

Модель Рамсея (модель Рамсея-Касса-Куманса)(модель репрезентативного агента) — неоклассическая модель оптимального экономического роста, являющаяся обобщением экономической модели Солоу. В модели Солоу норма сбережений предполагалась заданной экзогенно. В реальности она зависит от поведения жителей страны (макрорегиона), а, значит, от их собственных предпочтений. Поэтому в модели Рамсея норма сбережений определяется эндогенно.

Постановка модели

Экономические обозначения

Для описания модели введём следующие обозначения, применяемые в теории экономической математики.

• $$ u( \cdot ) $$ — функция полезности,
• $$ \rho > 0 $$ — норма субъективных межвременных предпочтений, субъективно выбранный положительный параметр дисконтирования,
• $$ L( \cdot )~= L(t)$$ — численность населения в момент времени $$ t $$ , также интерпретируем как неэластичное предложение труда.
• $$ C( \cdot )~= C(t)$$ — потребительские расходы на душу населения в момент времени $$t$$,
• $$ K( \cdot )~= K(t)$$ — объём капитала в момент времени $$t$$,
• $$ I( \cdot )~= I((t)$$ — объём инвестиций в момент времени $$t$$,
• $$r( \cdot ) ~= r(t) $$ — реальная доходность сбережений,
• $$ \sigma $$ — эластичность межвременного замещения (elasticity of intertemporal substitution)

Производство в экономике с репрезентативными домохозяйствами

Репрезентативное домохозяйство — домохозяйство, предпочтения которого при рациональном поведении (в задаче потребителя), приводят к таким решениям об уровне потребления и сбережения, что они эквивалентны совокупному потреблению (спросу) и сбережениям всех домохозяйств в экономике.

Экзогенно заданного начального значения $c(0)$ не существует. Также предполагаем, что численность населения растёт с некоторым постоянным коэффициентом (темпом) $$\rho$$ и $$L(0)~=1$$, итого $$ L(t)~= e^{\rho t} $$

Вспомогательные утверждения

Правило Кейнса-Рамсея

Список литературы

С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста, Ramsey F.P. A mathematical theory of saving.