Решения ОДУ в смысле Каратеодори

В дрызг и брызг рванула осень запоздалою жарой

Рассмотрим систему ДУ\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять в каком смысле понимать траекторию этой системы \(x(\cdot)\), если управление \(u(\cdot)\) измеримая функция. Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$

Условия Каратеодори

Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:

1. Пусть g(t,x) определена для $\forall x \in B_r(x_0)$ и почти всех $\forall t \in [t_0-a,t_0+a];$
2. g(t,x) измерима по $t$ для всех $\forall x \in B_r(x_0)$,

g(t,x) непрерывна по $x$ для почти всех $\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$

1. $\exists m(\cdot)$ - интегрируема по Лебегу при $t \in t[t_0-a, t_0+a]$ такая, что

$$ ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];$$ Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

1. Александр Бабаев