Линейный оператор в банаховых пространствах

Отображения. Теорема Банаха-Штейнгауза

Пусть $$X,$$ $$Y$$ - нормированные пространства. Рассмотрим $$A: X \rightarrow Y$$ - отображение.

Определение 1. Отображение $$A$$ называется непрерывным в т. $$x_0\in X,$$ если $$\forall\left\{x_n\right\},$$ $$x_n\in X:$$ $$x_n\rightarrow x_0$$ имеет место $$Ax_n\rightarrow Ax_0.$$

Лемма.

Доказательство:
Пусть $$A$$ непрерывно в точке $$x_0.$$ Рассмотрим произвольную точку $$x\in X$$ и $$\forall\left\{x_n\right\}:$$ $$x_n\in X,$$
$$x_n \rightarrow x_0.$$ Если $$A$$ - линейное отображение, которое непрерывно хотя бы в одной точке, то $A$ непрерывно всюду.

\begin{equation} \label{eq:0} \frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U). \end{equation}

1. Введем аналогичные метрическому пространству понятия для нормированных пространств.