Система Лотки-Вольтерры с учётом внутривидовой конкуренции

Биологическая интерпретация характеристик системы

Модель Лотки"--~Вольтерры описывает взаимодействие двух видов, один из которых является хищником, а другой ~--- жертвой. Если $u(t)$ ~--- численность жертв, $v(t)$ ~---численность хищников в момент времени $t$, то модель имеет вид \begin{equation}\label{sys1} \begin{cases} \dot{u} = au - buv, \\ \dot{v} = - cv + duv,\\ \end{cases} \end{equation} где $a, b, c, d > 0.$ \newline Рассматривая систему \ref{sys1} в качестве математической модели взаимодействующих популяций, естественно считать фазовым пространством множество $\mathbb{R}^2_+ = {u, v: ~ u \geq 0, v\geq 0}$, которое является инвариантным. \newline Заметим, что если отсутствуют хищники, то в математической модели \ref{sys1} популяция жертв экспоненциально растёт. Естественно изменить модель таким образом, чтобы ограничить рост жертв. Кроме того, хотя это и менее критично в рассматриваемой модели, введём член, ограничивающий рост популяции хищников. Получим: \begin{equation}\label{sys2} \begin{dcases} \dot{u} = au - buv - eu^2, \\ \dot{v} = - cv + duv - fv^2, \end{dcases} \end{equation} где $a, b, c, d, e, f > 0, (u, v) \in \mathbb{R}^2_+$. \newline Заметим, что \ref{sys2} отличается от \ref{sys1} последним слагаемым. Из вида этого слагаемого можно сделать вывод: чем меньше в популяции особей, тем меньше они конкурируют между собой.

Введение безразмерных переменных

Введём замену переменных $t = T\tau, \, x = Ap\left(\tau\right), \, y = Bq\left(\tau\right)$. Здесь $T, A, B$ --- положительные постоянные. Далее можем записать: $$\frac{d}{dt} = \frac{d}{d\tau} \cdot\frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{T}\cdot\frac{d}{d\tau}.$$ Тогда систему \ref{sys2} можно записать в виде: $$\begin{dcases} \frac{A}{T}\dot{p} = aAp - bApBq - eA^2p^2, \\ \frac{B}{T}\dot{q} = -cBq + dApBq - fB^2q^2. \end{dcases}$$ Упростим оба уравнения системы: $$\begin{dcases} \dot{p} = aTp - bTBpq - eTAp^2, \\ \dot{q} = - cTq + dTApq - fTBq^2 \end{dcases}$$ Пусть теперь $$T = \frac{1}{a}, \quad B = \frac{a}{b}, A = \frac{a}{d}$$ Тогда система будет выглядеть следующим образом: $$\begin{dcases} \dot{p} = p - pq - \frac{e}{d}p^2, \\ \dot{q} = - \frac{c}{a}q + pq - \frac{f}{b}q^2. \end{dcases}$$ Обозначим $$\alpha = \frac{e}{d}, \quad \gamma = \frac{c}{a}, \quad \beta = \frac{f}{b}, \quad u = p, \quad v = q.$$ Тогда финальная система имеет вид: \begin{equation}\label{sys3} \begin{dcases} \dot{u} = u - uv - \alpha u^2, \\ \dot{v} = -\gamma v + uv - \beta v^2, \end{dcases} \quad (u, v)\in \mathbb{R}^2_+, \quad \alpha > 0,\quad \beta > 0,\quad \gamma > 0. \end{equation}