Пространства Соболева

Определение

Рассмотрим класс непрерывно дифференцируемых функций, заданных на [0,1]. Определим скалярное произведение \[ \left< u, v \right> = \int\limits_0^1 u(t) v(t) dt + \int\limits_0^1 u^{\prime}(t) v^{\prime} (t) dt . \]

Данное скалярное произведение порождает норму \[ \left\lVert u \right\rVert^2 = \int\limits_0^1 u^2(t) dt + \int\limits_0^1 (u^{\prime} (t))^2 dt . \]

Данное пространство не является полным. Пополним пространство по этой норме, то есть добавим к пространству все предельные элементы.

Определение. Пусть $$M$$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $$R^*$$ называется пополнением пространства $$R$$, если

• $$R$$ является подпространством пространства $$R^*$$
• $$R$$ всюду плотно в $$R^*$$

Пример: $$\mathbb{R}$$ является пополнением $$\mathbb{Q}$$.

Теорема 1. Каждое метрическое пространство имеет пополнение

Доказательство теоремы можно найти в [2].

Определение. Пространство, полученное в результате пополнения пространства непрерывно дифференцируемых функций по указанной норме, называется соболевским пространством. Обозначение. $$W_2^1 (0,1)$$. Аналогично можно ввести пространства $$W_p^k(a,b)$$ - в их основе лежит класс $$k$$ раз непрерывно дифференцируемых функций и норма берется \[ \left\lVert u \right\rVert = \left( \sum\limits_{i=0}^k \int\limits_a^b (u^{(i)} (t))^p dt \right)^{\frac{1}{p}} . \]

Теорема о вложении

Теорема 2. Пусть $$u \in W_2^1 (0,1)$$. Тогда существует непрерывная на $$[0, 1]$$ функция $$\tilde{u}$$, такая что $$\tilde{u} = u$$ почти всюду и $$\max_{t \in [0, 1]} |\tilde{u}| \leq C \| u \|_{W_2^1 (0,1)}$$.

Доказательство. Пусть $$\{u_n\} \in C^1(0, 1)$$ — фундаментальная последовательность в $$W_2^1 (0,1)$$.

1. Сперва докажем, что $$\{u_n(0)\}$$ — фундаментальная числовая последовательность. \[ u_n(t) = u_n(0) + \int\limits_0^t u_n'(\tau) \mathrm{d}\tau, \] \[ u_n(0) - u_m(0) = u_n(t) - u_m(t) - \int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau. \] Воспользовавшись неравенством $$(a+b)^2 \leqslant 2a^2 + 2b^2$$, получим:

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(t) - u_m(t)]^2 + 2[\int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau]^2. \]

По неравенству Коши-Буняковского:

\[ [\int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right) \mathrm{d}\tau]^2 \leqslant \int\limits_0^t 1 \mathrm{d}\tau \int\limits_0^t \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \leqslant \int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau, \] поэтому

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(t) - u_m(t)]^2 + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau. \]

Проинтегрируем это неравенство от 0 до 1 по $$t$$ (учитываем, что выражение в левой части и второй интеграл справа являются константами):

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2\int\limits_0^1 [u_n(t) - u_m(t)]^2 \mathrm{d} t + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u'_m(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau, \]

\[ \left[u_n(0) - u_m(0) \right]^2 \leqslant 2 \| u_n - u_m \|_{W_2^1 (0,1)} \rightarrow 0. \]

Следовательно, $$\{u_n(0)\}$$ фундаментальна.

2. Аналогично предыдущему пункту доказательства можем записать

\[ \left[u_n(t) - u_m(t) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(0) - u_m(0)]^2 + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau. \]

Тогда

\[ \max_{t \in [0, 1]} \left[u_n(t) - u_m(t) \right]^2 \leqslant 2 [u_n(0) - u_m(0)]^2 + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) -u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \rightarrow 0. \]

Так как $$[u_n(0) - u_m(0)]^2 \rightarrow 0$$ в силу фундаментальности, а

\[ \int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau) - u_m'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \leqslant \| u_n - u_m \|_{W_2^1 (0,1)} \rightarrow 0. \]

Следовательно, $$\{u_n\}$$ — последовательность непрерывных на $$[0, 1]$$ функций, которая равномерно сходится к $$\tilde{u} \in C[0, 1]$$.

Из сходимости в пространстве $$C$$ следует сходимость в $$L_2$$, но $$u_n \rightarrow u$$ в $$L_2$$. Поскольку предел в $$L_2$$ определяется однозначно (с точностью до меры нуль), то $$u = \tilde{u}$$ почти всюду.

3. Для доказательства оценки вновь проделаем аналогичные выкладки и перейдем к пределу:

\[ u_n(0) = u_n(t) - \int\limits_0^t u_n'(\tau) \mathrm{d}\tau, \]

\[ u_n^2(0) \leqslant 2 \int\limits_0^1 u_n^2(\tau) \mathrm{d}\tau + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau)\right)^2 \mathrm{d}\tau = 2 \| u_n \|_{W_2^1}, \]

\[ u_n^2(t) \leqslant 2 u_n^2(0) + 2\int\limits_0^1 \left(u_n'(\tau)\right)^2 \mathrm{d}\tau = \tilde{C} \| u_n \|_{W_2^1}, \]

\[ \max_{t \in [0, 1]} |\tilde{u}(t)| \leq C \| u \|_{W_2^1 (0,1)} \]

Теорема доказана.

Теорема о компактности вложения

Теорема 3. Если $$\| u_n \|_{W_2^1} \leqslant C$$, то существует подпоследовательность $$\tilde{u}_{n_k}$$ соответствующих непрерывных функций, которая равномерно сходится на $$[0, 1]$$.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой Арцела-Асколи (критерий предкомпактности множества в пространстве $$C$$).

1. $$| \tilde{u}_n(t)| \leqslant C_1 \| u_n \|_{W_2^1} \leqslant const.$$ Следовательно, $$\{u_n\}$$ равномерно ограничена.

2. Из формулы Ньютона-Лейбница следует $$\tilde{u}_n(t+\delta) - \tilde{u}_n(t) = \int\limits_t^{t+\delta} \tilde{u}_n'(\tau) \mathrm{d}\tau$$, откуда с учетом неравенства Коши-Буняковского получим:

\[ |\tilde{u}_n(t+\delta) - \tilde{u}_n(t)|^2 \leqslant \delta \int\limits_t^{t+\delta} \left(\tilde{u}_n'(\tau) \right)^2 \mathrm{d}\tau \leqslant \delta \|u_n\|_{W_2^1} \leqslant \delta C. \]

Тогда \[ \lim_{\delta \to 0} |\tilde{u}_n(t+\delta) - \tilde{u}_n(t)| = 0. \]

Следовательно, $$\{u_n\}$$ равностепенно непрерывна.

Условия теоремы Арцела-Асколи выполнены, а значит, $$\{u_n\}$$ — предкомпакт, т.е. любая фундаментальная подпоследовательность $$\{u_n\}$$ сходится к некоторой непрерывной функции в метрике $$C$$, что и означает равномерную сходимость на $$[0, 1]$$. Теорема доказана.

Список литературы

1. Точилин П. А. Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976г.