Теорема Бендиксона-Пуанкаре

Теорема Бендиксона-Пуанкаре

Tribolium Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: \[ \begin{aligned} \dot{x} &= f_1(x, y), \\ \dot{y} &= f_2(x, y), \end{aligned} \quad \bar{D} \subset \mathbb{R}^2 \] Условия:

1. \(\bar{D}\) — ограниченная замкнутая область в \(\mathbb{R}^2\).

2. \(\bar{D}\) — положительно инвариантна относительно системы: если \(x_0 \in \bar{D}\), то \(x(t, x_0) \in \bar{D}\) \(\forall t \ge 0\).

3. в \(\bar{D}\) нет точек покоя.

Тогда в \(D\) существует по крайней мере одна замкнутая траектория (цикл).

Лемма 1

Если траектория системы содержит хотя бы одну свою предельную точку при \(t \to \infty\), то это либо точка покоя, либо цикл.

Доказательство:
Пусть содержится \(\bar{x}\) и \(t \to \infty\).
1. Если \(\bar{x}\) - точка покоя, то \(x(t) = \bar{x}\).
Иначе рассмотрим второй случай. 2. Рассмотрим окрестность точки \(\bar{x}\). В окрестности точки по теореме о выпрямлении векторного поля, его можно представить как пучок параллельных прямых. \(\bar{x}\) - предельная точка, то траектории будут близко к ней. Если траектория не попадает в \(\bar{x}\), то она будет оставаться в мешке Бендиксона и не будет приближаться к \(\bar{x}\). Получаем противоречие

Лемма 2

Пусть траектория \(\gamma\) при \(t \to \infty\) имеет предельную точку \(\bar{M} \in \gamma\), принадлежащую некоторой замкнутой кривой \(\bar{\gamma}\). Тогда либо \(\gamma = \bar{\gamma}\), либо \(\gamma\) спиралевидно приближается к \(\bar{\gamma}\).

Доказательство: 1. Траектория \(\gamma\) проходит через \(\bar{M} \in \bar{\gamma}\), тогда \(x(t, \bar{M}) \in \bar{\gamma}\).
2. Если траектория проходит сколь угодно близко от \(\bar{M}\), но тогда траектория на любом обороте будет приближаться к \(\bar{M}\), так как это предельная точка.

Доказательство теоремы Бендиксона-Пуанкаре

Из произвольной точки выпускаем траекторию: \[ \gamma: \begin{cases} x = x(t, x_0), \\ y = y(t, y_0) \end{cases}, \quad (x_0, y_0) \in \bar{D}. \] Эта траектория не покидает замкнутую область \(\bar{D}\).

По теореме Вейерштрасса можно выделить последовательность \(t_k\), сходящуюся к предельной точке: \[ \begin{cases} x_k = x(t_k, x_0), \\ y_k = y(t_k, y_0) \end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{pmatrix} = \bar{M}. \]

Теперь рассматриваем два возможных случая:

1. \(\bar{M} \in \gamma\): в этом случае, по Лемме 1, \(\gamma\) является замкнутой траекторией.

2. \(\bar{M} \notin \gamma\).Тогда рассматриваем траекторию \(\bar{\gamma}\), проходящую через \(\bar{M}\): \[ \begin{cases} x = x(t, x_0), \\ y = y(t, y_0) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \bar{\gamma}. \] Для этой траектории выделяем последовательность \(\{t_n\}\), сходящуюся к предельной точке.

\[ \begin{cases} x_n = x(t_n, \bar{x}), \\ y_n = y(t_n, \bar{y}) \end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix} \bar{\bar{x}} \\ \bar{\bar{y}} \end{pmatrix} = \bar{\bar{M}}. \] Из инвариантности предельного множества следует, что \(\bar{\gamma}\) является предельным множеством, а значит, возможны два случая:

Случай \(\bar{\bar{M}} \in \bar{\gamma}\): Тогда \(\bar{\gamma}\) является замкнутой траекторией.

Случай \(\bar{\bar{M}} \notin \bar{\gamma}\): Это приводит к противоречию, так как \(\bar{\bar{M}}\) и любая другая точка \(\tilde{a}\) из \(\bar{\gamma}\) одновременно не могут быть предельными.

Таким образом, доказано, что при выполнении условий теоремы траектория либо является замкнутой, либо приводит к противоречию.

Пример

Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = -x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = R^2, \\ \text{нет предельного цикла,} \\ \text{хотя выполнены условия.} \end{cases} \]

Пример

\[ \begin{aligned} \dot{x} &= y, \\ \dot{y} &= -x. \end{aligned} \] Замечание: Траектории системы лежат на окружностях вида \(x^2 + y^2 = R^2\). Условия теоремы выполнены, но предельного цикла нет.

Следствие

Если в окрестности замкнутой траектории \(\bar{\gamma}\) отсутствуют другие замкнутые траектории, то все траектории, начинающиеся вблизи \(\bar{\gamma}\), спиралевидно стремятся к \(\bar{\gamma}\).