Модель Холлинга

Модель Холлинга

Модель Холлинга «хищник-жертва»
\( \begin{cases} \dot x = r x \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{\omega x y}{D + x}, \\ \dot y = -s y \left( 1 - \dfrac{J y}{x} \right), \end{cases} \)
где \( r, s, K, \omega, D, J > 0 \)
\( x \) — численность популяции жертв
\( y \) — численность популяции хищников
\( r \) — коэффициент рождаемости жертв
\( s \) — коэффициент смертности хищников
\( K \) — влияние межвидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах
\( \omega \) — коэффициент "поедания" хищниками жертв
\( D \) — коэффициент, когда хищник перестаёт поедать жертв
\( J \) — коэффициент насыщения хищника

Предельный цикл в модели Холлинга

Теорема

При \( s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} \) динамическая система имеет устойчивый предельный цикл.