Вращение векторного поля. Индекс Пуанкаре

Рассматривается система:

$$(1) \begin{cases} \dot{x_1} = f_1 (x_1, x_2), \\ \dot{x_2} = f_2 (x_1, x_2). \end{cases}$$

Вращением векторного поля $$f = (f_1, f_2)$$ вдоль кривой $$\gamma$$ (относительно оси $$Ox = \vec{l}$$) называется деленный на $$2\pi$$ угол между векторным полем $$f = (f_1, f_2)$$ и осью $$\vec{l}$$ вдоль кривой $$\gamma$$, если она проходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Обозначим полученный угол между векторным полем $$f = (f_1, f_2)$$ и осью $$\vec{l}$$ за $$\theta$$.

Таким образом,

$$\theta(x_1, x_2) = \arctan \left(\dfrac{f_2(x_1, x_2)}{f_1(x_1, x_2)}\right) + \theta_0,$$ где $$\theta_0$$ определяется в зависимости от направления оси $$\vec{l}$$.

$$\chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} d\theta ~-~$$вращение векторного поля вдоль кривой $$\gamma$$.

$$d\theta = \dfrac{1}{1+\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^2} \cdot d\left(\frac{f_2}{f_1}\right) = \dfrac{f_1^2}{f_1^2+f_2^2} \cdot \dfrac{df_2\cdot f_1 - df_1 \cdot f_2}{f_1^2} = \dfrac{f_1\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot dx_1 + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot dx_2\right) - f_2\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\cdot dx_1 + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\cdot dx_2\right)}{f_1^2 + f_2^2}.$$

Таким образом, вращение векторного поля можно вычислить по формуле:

$$ \chi_{\gamma} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{\gamma} P(x_1, x_2)dx_1 + Q(x_1, x_2)dx_2, $$

где

$$~ P(x_1, x_2) = \dfrac{f_1\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_1} - f_2 \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}{f_1^2 + f_2^2}, ~~ Q(x_1, x_2) = \dfrac{f_1\cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_2} - f_2 \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_2}}{f_1^2 + f_2^2}.$$