Норма линейного оператора
Содержание
Норма линейного оператора
Введение
В данной статье рассматривается фундаментальное понятие **нормы линейного оператора**, играющее ключевую роль в функциональном анализе. Норма оператора позволяет количественно оценить "силу воздействия" оператора на элементы пространства и является естественным обобщением понятия нормы вектора.
Линейные операторы
Определение 1. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные пространства (оба вещественные или оба комплексные). Оператор $$A: X \to Y$$ с областью определения $$D(A)$$ называется **линейным**, если:
1. $$D(A)$$ — линейное многообразие в $$X$$, 2. $$A(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda_1 A(x_1) + \lambda_2 A(x_2)$$ для любых $$x_1, x_2 \in D(A)$$ и любых скаляров $$\lambda_1, \lambda_2$$.
Непрерывность и ограниченность
Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, и линейный оператор $$A$$ задан всюду в $$X$$ ($$D(A) = X$$).
Определение 2. Оператор $$A$$ называется **непрерывным в точке** $$x_0 \in X$$, если $$Ax \to Ax_0$$ при $$x \to x_0$$. Оператор $$A$$ называется **непрерывным**, если он непрерывен в точке $$x = 0$$.
Определение 3. Линейный оператор $$A$$ называется **ограниченным**, если он ограничен на единичном шаре $$S_1(0) = \{ x \in X: \|x\| \leq 1 \}$$, т.е. если множество $$\{ \|Ax\| : \|x\| \leq 1 \}$$ ограничено.
Эквивалентность непрерывности и ограниченности
Теорема 1. Пусть $$A: X \to Y$$ — линейный оператор, $$X, Y$$ — банаховы пространства, $$D(A) = X$$. Для того чтобы $$A$$ был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.
Доказательство.
- Необходимость.** Пусть $$A$$ непрерывен. Допустим, что $$A$$ неограничен. Тогда для любого натурального $$n$$ существует $$x_n \in X$$ с $$\|x_n\| \leq 1$$ такой, что $$\|Ax_n\| \geq n$$. Рассмотрим $$x_n' = x_n/n$$. Тогда $$\|x_n'\| = \|x_n\|/n \leq 1/n \to 0$$ при $$n \to \infty$$. По непрерывности оператора $$A$$ имеем $$Ax_n' \to 0$$. С другой стороны, $$\|Ax_n'\| = \|Ax_n\|/n \geq 1$$. Полученное противоречие доказывает необходимость.
- Достаточность.** Пусть $$A$$ ограничен. Тогда существует $$c > 0$$ такое, что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in X$$. Если $$x \to 0$$, то и $$Ax \to 0$$, т.е. $$A$$ непрерывен в точке $$0$$, а значит, и всюду.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка \[ \|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\| \] для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.
Доказательство. При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$. Положим $$x' = x/\|x\|$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то $$\|Ax'\| \leq \|A\|$$, т.е. $$\|A(x/\|x\|)\| \leq \|A\|$$. По линейности $$A$$ и однородности нормы получаем $$\|Ax\|/\|x\| \leq \|A\|$$, что и требовалось.
Теорема доказана.
Пространство линейных операторов и норма
Пусть $$\mathcal{L}(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$\mathcal{L}(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр: \[ (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax. \] Множество $$\mathcal{L}(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.
Определение 4. **Нормой линейного оператора** $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ называется число \[ \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|. \]
Теорема 3. Функция $$\|\cdot\|$$, определённая на $$\mathcal{L}(X, Y)$$, является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:
1. $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$, 2. $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$, 3. $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.
Доказательство. 1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.
2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.
3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем: \[ \|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|. \] Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.
Теорема доказана.
Пример: норма оператора в $$c^m$$
Рассмотрим оператор $$A: c^m \to c^m$$, заданный матрицей $$(a_{ij})$$: \[ y = Ax, \quad \eta_i = \sum_{j=1}^m a_{ij} \xi_j, \quad i = 1, \dots, m. \] Пусть $$\gamma_m = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^m |a_{ij}|$$.
Теорема 4. Норма оператора $$A$$ в пространстве $$c^m$$ равна $$\gamma_m$$, т.е. $$\|A\| = \gamma_m$$.
Доказательство. Сначала докажем, что $$\|A\| \leq \gamma_m$$. Для любого $$x \in c^m$$ с $$\|x\| = \max_j |\xi_j| \leq 1$$ имеем: \[ |\eta_i| = \left| \sum_{j=1}^m a_{ij} \xi_j \right| \leq \sum_{j=1}^m |a_{ij}| \cdot |\xi_j| \leq \sum_{j=1}^m |a_{ij}| \leq \gamma_m. \] Следовательно, $$\|Ax\| = \max_i |\eta_i| \leq \gamma_m$$, откуда $$\|A\| \leq \gamma_m$$.
Теперь докажем обратное неравенство. Пусть $$i_0$$ таково, что $$\sum_{j=1}^m |a_{i_0 j}| = \gamma_m$$. Возьмём $$x_0 = (\operatorname{sign} a_{i_0 j})_{j=1}^m$$. Очевидно, $$\|x_0\| = 1$$. Тогда: \[ \|Ax_0\| = \max_i \left| \sum_{j=1}^m a_{ij} \operatorname{sign} a_{i_0 j} \right| \geq \left| \sum_{j=1}^m a_{i_0 j} \operatorname{sign} a_{i_0 j} \right| = \sum_{j=1}^m |a_{i_0 j}| = \gamma_m. \] Следовательно, $$\|A\| \geq \|Ax_0\| \geq \gamma_m$$. Таким образом, $$\|A\| = \gamma_m$$.
Теорема доказана.
Заключение
Понятие нормы линейного оператора является краеугольным камнем функционального анализа. Оно позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов. Рассмотренный пример вычисления нормы оператора в конечномерном пространстве показывает, что даже в простейших случаях это понятие приводит к нетривиальным результатам.
