Неограниченная продолжаемость решений ОДУ
Будем рассматривать действительную систему \begin{equation}\label{syst} \frac{dx}{dt} = f(t, x), \end{equation} где \begin{equation*} f(t, x) \in C_{t, x}^{(0, 1)} (\mathcal{I}_t^{+} \times \mathcal{R}_x^n) \Leftrightarrow \begin{cases} f(t, x) \in C_t(\mathcal{I}_t^{+}) \; \forall x \in \mathcal{R}_x^n, \\ f(t, x) \in C_x^1(\mathcal{R}_x^n) \; \forall t \in \mathcal{I}_t^{+}, \end{cases} \end{equation*}
Здесь \begin{equation*} \mathcal{I}_t^{+} = \{ t \ge 0 \}, \\ \mathcal{R}_x^n \subseteq \mathbb{R}^n \end{equation*}
Пусть $$x[t] \equiv x(t; t_0, x_0)$$ - решение (\ref{syst}) с начальным условием \begin{equation}\label{start_cond} x(t_0) = x_0 \end{equation}
Основные понятия
Если $$x[t]$$ - решение системы (\ref{syst})-(\ref{start_cond}), то для него справедливо одно из двух:
- $$x[t]$$ неограниченно продолжаемо вправо (defined in the future), т.е. $$x[t]$$ имеет смысл на промежутке $$[t_0, +\infty) \ \forall t_0 \in \mathcal{I}_t^{+}$$,
- $$x[t]$$ имеет конечное время определения (finite escape time), т.е. $$\exist T > t_0: \norm{x(t)} \rightarrow \infty при t \rightarrow T$$.
