Норма линейного оператора

Понятие оператора

Определение 1. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — произвольные множества. А множество $$D \subseteq X$$ выделенное подмножество в $$X$$. Если каждому элементу $$x \in D$$ ставится в соответствие определенный элемент $$y \in Y$$, то говорят что задан оператор $$y = F(x)$$. При этом множество $$D$$ называется множеством определения оператора $$F$$ и обозначается $$D(F)$$. Множество

\[ R = R(F) = \{y \in Y : y = F(x), x \in D\} \]

называется областью значений оператора $$F$$.

Для краткости будем использовать обозначение $$F: X \to Y$$, где $$D(F) = X$$ и $$R(F) = Y$$.

Линейные операторы

Определение 2. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные пространства (оба вещественные или оба комплексные). Оператор $$A: X \to Y$$ с областью определения $$D(A)$$ называется линейным, если:

1. $$D(A)$$ — линейное подпространство,

2. $$A(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda_1 A(x_1) + \lambda_2 A(x_2)$$ для любых $$x_1, x_2 \in D(A)$$ и любых $$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$$.

Это означает, что оператор сохраняет линейные операции - сложение и умножение на число.

Непрерывность и ограниченность

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, и линейный оператор $$A$$ задан всюду в $$X$$ т.е. $$D(A) = X$$.

Определение 3. Оператор $$A$$ называется непрерывным в точке $$x_0 \in X$$, если для любой последовательности $$\{x_k\}_{k=0}^{\infty}, x_k \in X$$, такой что $$x_k \to x_0$$ по норме $$\|\cdot\|_X$$, верно, что $$Ax_k \to Ax_0$$.

Теорема 1. Пусть линейный оператор $$A$$ непрерывен в точке $$x_0 = 0$$, тогда оператор непрерывен в любой точке $$x_0 \in X$$.

Доказательство. Если последовательность $$x_k \to x_0$$, то $$z_k = x_k - x_0 \to 0$$. Из непрерывности в нуле следует, что $$Az_k \to 0$$. Таким образом получаем, что $$Ax_k - Ax_0 \to 0$$, т.е. для любого $$x_0 \in X$$ и для любой последовательности $$x_k \to x_0$$ справедливо $$Ax_k \to Ax_0$$. Это и есть непрерывность оператора $$A$$ в любой точке множества $$X$$. $$\square$$

Данное свойство значительно упрощает анализ таких операторов.

Определение 4. Линейный оператор $$A$$ называется непрерывным, если он непрерывен в точке $$x_0 = 0$$.

Непрерывность оператора — важное свойство, которое показывает, что оператор не совершает резких скачков, т.е. близкие элементы переходят в близкие.

Определение 5. Линейный оператор $$A$$ называется ограниченным, если он ограничен на единичном шаре $$S_1(0) = \{ x \in X: \|x\| \leq 1 \}$$, т.е. существует $$\sup_{\|x\|_X \leq 1} \|Ax\|_Y < \infty$$.

Ограниченность оператора означает, что существует константа $$C > 0$$ такая, что для всех $$x$$ выполняется $$\|Ax\| \leq C\|x\|$$, т.е. оператор не может увеличить норму элемента больше чем в $$C$$ раз.

Эквивалентность непрерывности и ограниченности

Теорема 2. Пусть $$A: X \to Y$$ — линейный оператор, $$X, Y$$ — банаховы пространства, $$D(A) = X$$. Для того чтобы $$A$$ был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Доказательство.

• • Необходимость. Пусть $$A$$ непрерывен. Допустим, что $$A$$ неограничен. Тогда для любого натурального $$n$$ существует $$x_n \in X$$ с $$\|x_n\| \leq 1$$ такой, что $$\|Ax_n\| \geq n$$. Рассмотрим $$x_n' = \frac{x_n}{n}$$. Тогда $$\|x_n'\| = \frac{\|x_n\|}{n} \leq \frac{1}{n} \to 0$$ при $$n \to \infty$$. Из непрерывности оператора $$A$$ имеем $$Ax_n' \to 0$$. С другой стороны, $$\|Ax_n'\| = \frac{\|Ax_n\|}{n} \geq 1$$. Полученное противоречие доказывает необходимость.

• • Достаточность. Пусть $$A$$ ограничен. Тогда существует $$C > 0$$ такое, что $$\|Ax\| \leq C\|x\|$$ для всех $$x \in X$$. Если $$x \to 0$$, то и $$Ax \to 0$$, т.е. $$A$$ непрерывен в точке $$0$$, а значит, и всюду. $$\square$$

Пространство линейных операторов и норма

Пусть $$\mathcal{L}(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$\mathcal{L}(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр: \[ (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax. \] Множество $$\mathcal{L}(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

Напомним общее определение нормы для линейного пространства.

Определение 6. Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geq 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R};$$ $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X;$$ $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает метрику над $$X$$: $$\rho(x,y) = |x - y|$$.

Определение 7. Нормой линейного оператора $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ называется число \[ \|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|. \]

Убедимся, что это действительно норма.

Теорема 3. Функция $$\|\cdot\| : \mathcal{L}(X, Y) \to \mathbb{R}$$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \mathcal{L}(X, Y);$$ $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R};$$ $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \mathcal{L}(X, Y);$$ $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Доказательство.

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем: \[ \|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|. \] Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

Докажем еще одно полезное утверждение для ограниченного оператора.

Теорема 4. Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка \[ \|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\| \] для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

Доказательство.

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, будем считать $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы$$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. После постановки $$x'$$ получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$ т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$

Список литературы

1. Точилин П.А. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2025.

2. Треногин В. А. "Функциональный анализ", 2002.

Заключение

Понятие нормы линейного оператора является краеугольным камнем функционального анализа. Оно позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов. Рассмотренный пример вычисления нормы оператора в конечномерном пространстве показывает, что даже в простейших случаях это понятие приводит к нетривиальным результатам.