Сопряжённый линейный оператор

Пространство линейных операторов и норма

\begin{abstract} \textbf{Курсивное описание:} В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов. \end{abstract}

Пространство линейных операторов

Пусть $$L(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$L(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр: $$(A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax$$.

Множество $$L(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

Определение нормы

Определение 1. Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geq 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X$$; $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает метрику над $$X$$: $$\rho(x,y) = \|x - y\|$$.

Норма линейного оператора

Определение 2. Нормой линейного оператора $$A \in '''L'''(X, Y)$$ называется число

$$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

Свойства нормы оператора

Теорема 1. Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$; $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \LL(X, Y)$$; $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Доказательство.

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем:

$$\|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

Основная оценка для ограниченных операторов

Теорема 2. Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка

$$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$

для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

Доказательство.

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, рассмотрим $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы $$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. Подставляя $$x'$$, получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$, т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$